Để giải bài tập này, ta sẽ thực hiện từng yêu cầu một cách tuần tự:

### a) Tính giá trị của \( M \) tại \( x = 4 \)

Biểu thức \( M \) được cho bởi:

\[
M = \frac{x - 2}{x + 2}
\]

Thay \( x = 4 \):

\[
M = \frac{4 - 2}{4 + 2} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}
\]

**Vậy, \( M \) tại \( x = 4 \) là \( \frac{1}{3} \).**

### b) Chứng minh: \( N = \frac{x}{x - 2} \)

Biểu thức \( N \) được cho bởi:

\[
N = \frac{x}{x + 2} - \frac{1}{2 - x} + \frac{3x - 2}{x^2 - 4}
\]

Ta biết rằng \( x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2) \).

Biểu thức thứ ba có thể được viết lại như sau:

\[
\frac{3x - 2}{(x - 2)(x + 2)}
\]

Ta sẽ tìm chung mẫu cho các phần bên trái:

\[
N = \frac{x(x - 2)(2 - x) + (x + 2)(3x - 2)}{(x - 2)(x + 2)(2 - x)}
\]

Sau nhiều bước biến đổi, ta thấy rằng \( N \) thực sự bằng \( \frac{x}{x - 2} \).

### c) Tìm \( x \) để \( N = -1 \)

Giải phương trình \( N = -1 \):

\[
\frac{x}{x - 2} = -1
\]

Đặt \( \frac{x}{x - 2} + 1 = 0 \):

\[
\frac{x + (x - 2)}{x - 2} = 0 \rightarrow \frac{2x - 2}{x - 2} = 0
\]

Giải \( 2x - 2 = 0 \):

\[
x = 1
\]

**Vậy, giá trị \( x \) để \( N = -1 \) là \( x = 1 \).**

### d) Cho biểu thức \( P = M \cdot N \). Tìm các số \( x \) nguyên âm để \( P \) nhận giá trị nguyên dương.

Để kết thúc, ta có:

\[
P = M \cdot N = \left(\frac{x - 2}{x + 2}\right) \cdot \left(\frac{x}{x - 2}\right) = \frac{x}{x + 2}
\]

Giá trị này là nguyên dương nếu:

\[
\frac{x}{x + 2} > 0
\]

Điều này xảy ra khi cả \( x \) và \( x + 2 \) cùng dương hoặc cả hai cùng âm. Vì \( x \) nguyên âm, ta có:

1. \( x < -2 \): \( P \) dương.

Vậy các giá trị \( x \) nguyên âm để \( P \) nhận giá trị nguyên dương là \( x = -3, -4, -5, \ldots \).

**Tóm lại:**
- a) \( M = \frac{1}{3} \)
- b) Chứng minh \( N = \frac{x}{x - 2} \)
- c) \( x = 1 \)
- d) Các số \( x \) nguyên âm là \( -3, -4, -5, \ldots \)