Chúng ta sẽ giải từng phần của bài toán này.

### a) Xét biểu thức \( C = x(3x - 4) - 3x(x - 5) \)

**Bước 1: Rút gọn biểu thức \( C \)**

\[
C = x(3x - 4) - 3x(x - 5)
\]
\[
= 3x^2 - 4x - 3x^2 + 15x
\]
\[
= (3x^2 - 3x^2) + (-4x + 15x)
\]
\[
= 11x
\]

**Bước 2: Chứng minh \( C \) luôn chia hết cho 11 với mọi số nguyên \( x \)**

Chúng ta nhận thấy rằng \( C = 11x \), nghĩa là \( C \) sẽ chia hết cho 11 nếu \( x \) là một số nguyên.

### b) Xét biểu thức \( D = xy(3 + 4x) - 4y(x^2 - x) \)

**Bước 1: Rút gọn biểu thức \( D \)**

\[
D = xy(3 + 4x) - 4y(x^2 - x)
\]
\[
= 3xy + 4x^2y - 4yx^2 + 4xy
\]
\[
= 3xy + (4x^2y - 4yx^2) + 4xy
\]
\[
= 3xy + 4xy
\]
\[
= 7xy
\]

**Bước 2: Chứng minh \( D \) luôn chia hết cho 7 với mọi số nguyên \( x, y \)**

Ta có \( D = 7xy \), tức \( D \) luôn chia hết cho 7 nếu \( x \) và \( y \) là số nguyên.

### c) Xét biểu thức \( P = 2^{10} + 2^{11} + 2^{12} \)

**Bước 1: Rút gọn biểu thức \( P \)**

\[
P = 2^{10} + 2^{11} + 2^{12}
\]
\[
= 2^{10} + 2 \cdot 2^{10} + 4 \cdot 2^{10}
\]
\[
= 2^{10} (1 + 2 + 4) = 2^{10} \cdot 7
\]

**Bước 2: Chứng minh \( P \) luôn chia hết cho 7**

Ta có \( P = 2^{10} \cdot 7 \), tức \( P \) luôn chia hết cho 7, vì 7 là một yếu tố của biểu thức.

### Kết luận

- C luôn chia hết cho 11 với mọi số nguyên \( x \).
- D luôn chia hết cho 7 với mọi số nguyên \( x, y \).
- P luôn chia hết cho 7.