Để giải phương trình

\[
\sqrt{x^2 + 10x + 21} = 3\sqrt{x + 3} + 2\sqrt{x + 7} - 6,
\]

trước tiên, ta sẽ đơn giản hóa cả hai bên của phương trình.

### Bước 1: Đơn giản hóa

**Bên trái:**

\[
\sqrt{x^2 + 10x + 21} = \sqrt{(x + 5)^2} = |x + 5|.
\]

### Bước 2: Bên phải

**Bên phải:**

Ta chú ý rằng \(3\sqrt{x + 3} + 2\sqrt{x + 7} - 6\) cũng có thể đơn giản hơn nếu thay \(x\) cụ thể, nhưng trước tiên hãy lập một mệnh đề.

### Bước 3: Phân tích khả năng của \(|x + 5|\)

Phương trình sẽ có hai trường hợp:

1. **Trường hợp 1:** \(x + 5 \geq 0 \Rightarrow \sqrt{x^2 + 10x + 21} = x + 5\)
2. **Trường hợp 2:** \(x + 5 < 0 \Rightarrow \sqrt{x^2 + 10x + 21} = - (x + 5)\)

#### Trường hợp 1: \(x + 5 \geq 0\)

Khi đó, phương trình biến thành:

\[
x + 5 = 3\sqrt{x + 3} + 2\sqrt{x + 7} - 6.
\]
Sắp xếp lại:

\[
x + 11 = 3\sqrt{x + 3} + 2\sqrt{x + 7}.
\]

Bình phương cả hai bên:

\[
(x + 11)^2 = (3\sqrt{x + 3} + 2\sqrt{x + 7})^2.
\]

Giải phương trình sẽ thu được nghiệm.

#### Trường hợp 2: \(x + 5 < 0\)

Phương trình trở thành:

\[
-(x + 5) = 3\sqrt{x + 3} + 2\sqrt{x + 7} - 6.
\]
Sắp xếp lại:

\[
- x - 5 + 6 = 3\sqrt{x + 3} + 2\sqrt{x + 7} \Rightarrow -x + 1 = 3\sqrt{x + 3} + 2\sqrt{x + 7}.
\]

Cũng tương tự, bình phương cả hai bên và giải phương trình sẽ thu được nghiệm.

### Bước 4: Kiểm tra các nghiệm

Sau khi tìm nghiệm cho cả hai trường hợp, bạn cần kiểm tra lại xem các nghiệm đó có thỏa mãn điều kiện ban đầu không, vì việc bình phương có thể tạo ra nghiệm ngoại lai.

### Kết luận

Bạn hãy thực hiện các bước này và tính toán cụ thể để tìm nghiệm của phương trình.