Để chứng minh biểu thức \( F = \frac{(6n + 1)(n + 5) - (3n + 5)(2n - 1)}{2} \) chia hết cho 2, ta sẽ tính giá trị của \( F \).

1. **Tính giá trị trong dấu ngoặc:**

- Tính \( (6n + 1)(n + 5) \):
\[
(6n + 1)(n + 5) = 6n^2 + 30n + n + 5 = 6n^2 + 31n + 5
\]

- Tính \( (3n + 5)(2n - 1) \):
\[
(3n + 5)(2n - 1) = 6n^2 - 3n + 10n - 5 = 6n^2 + 7n - 5
\]

2. **Tính hiệu của hai biểu thức:**
\[
(6n^2 + 31n + 5) - (6n^2 + 7n - 5) = 31n + 5 - 7n + 5 = 24n + 10
\]

3. **Tính \( F \):**
\[
F = \frac{24n + 10}{2} = 12n + 5
\]

4. **Kiểm tra tính chia hết cho 2:**
- \( 12n + 5 \) là một số chẵn nếu \( n \) là số chẵn, và là số lẻ nếu \( n \) là số lẻ.
- Tuy nhiên, để xem \( F \) có chia hết cho 2 không, hãy xem xét biểu thức \( 24n + 10 \): đây là một số luôn chẵn, vì nó chia hết cho 2.

Như vậy, \( F \) chia hết cho 2 khi \( n \) là một số nguyên. Ta có thể kết luận rằng:

\[
F \text{ chia hết cho } 2.
\]