Để chứng minh biểu thức \( S = (n-1)(n+1) - (n-5)(n-5) \) chia hết cho 12, ta sẽ đơn giản hóa biểu thức.

1. **Đơn giản hóa biểu thức**:

\[
S = (n-1)(n+1) - (n-5)(n-5)
\]

Biểu thức thứ nhất là hiệu hai bình phương:

\[
(n-1)(n+1) = n^2 - 1
\]

Biểu thức thứ hai là bình phương của hiệu:

\[
(n-5)(n-5) = (n-5)^2 = n^2 - 10n + 25
\]

Thay vào biểu thức \( S \):

\[
S = n^2 - 1 - (n^2 - 10n + 25)
\]

\[
S = n^2 - 1 - n^2 + 10n - 25
\]

\[
S = 10n - 26
\]

2. **Kiểm tra chia hết cho 12**:

Cuối cùng, ta kiểm tra điều kiện \( 10n - 26 \equiv 0 \mod{12} \):

\[
10n - 26 \equiv 10n - 2 \mod{12}
\]

Ta cần \( 10n \equiv 2 \mod{12} \).

Để tìm n, ta thử các giá trị \( n = 0, 1, 2, \ldots, 11 \):

- \( n \equiv 0 \Rightarrow 10 \cdot 0 \equiv 0 \)
- \( n \equiv 1 \Rightarrow 10 \cdot 1 \equiv 10 \)
- \( n \equiv 2 \Rightarrow 10 \cdot 2 \equiv 8 \)
- \( n \equiv 3 \Rightarrow 10 \cdot 3 \equiv 6 \)
- \( n \equiv 4 \Rightarrow 10 \cdot 4 \equiv 4 \)
- \( n \equiv 5 \Rightarrow 10 \cdot 5 \equiv 2 \)
- Tiếp tục kiểm tra tương tự...

Từ đây, ta thấy \( n \equiv 5 \mod{12} \) thì \( S \) là chia hết cho 12.

**Kết luận**: Biểu thức \( S \) chia hết cho 12 với điều kiện \( n \equiv 5 \mod{12} \).