Để chứng minh biểu thức \( C = \left( (n^2 + 3n) - 1 \right)(n + 2) - n^3 + n \) chia hết cho 5, ta sẽ thực hiện từng bước đơn giản.

1. **Biến đổi biểu thức:**
\[
C = (n^2 + 3n - 1)(n + 2) - n^3 + n
\]

2. **Mở rộng biểu thức:**
\[
C = (n^2 + 3n - 1)(n + 2) = n^3 + 2n^2 + 3n^2 + 6n - n - 2
\]
\[
= n^3 + 5n^2 + 5n - 2
\]
Thay vào biểu thức \( C \):
\[
C = (n^3 + 5n^2 + 5n - 2) - n^3 + n
\]
\[
= 5n^2 + 5n - 2 + n - n^3
\]
\[
= 5n^2 + 6n - 2
\]

3. **Tính chia hết cho 5:**
Nhận thấy \( 5n^2 \) chia hết cho 5, nên chỉ cần kiểm tra phần còn lại:
\[
6n - 2
\]

4. **Xét \( 6n - 2 \) theo modulo 5:**
\[
6n - 2 \equiv n - 2 \mod 5
\]

5. **Kiểm tra các trường hợp của \( n \) modulo 5:**
- Nếu \( n \equiv 0 \): \( 0 - 2 \equiv 3 \)
- Nếu \( n \equiv 1 \): \( 1 - 2 \equiv -1 \equiv 4 \)
- Nếu \( n \equiv 2 \): \( 2 - 2 \equiv 0 \)
- Nếu \( n \equiv 3 \): \( 3 - 2 \equiv 1 \)
- Nếu \( n \equiv 4 \): \( 4 - 2 \equiv 2 \)

Kết luận, chỉ khi \( n \equiv 2 \mod 5 \), thì \( 6n - 2 \equiv 0 \mod 5 \). Vì vậy, biểu thức \( C \) sẽ chia hết cho 5 với điều kiện \( n \equiv 2 \mod 5 \).

Tóm lại, để \( C \) chia hết cho 5, \( n \) cần có giá trị thỏa mãn điều kiện trên.