Để chứng minh biểu thức \(\frac{(n^2 + 1)}{(n^3 - 3n - 1) - (2n^3 + 1)}\) chia hết cho 5, trước tiên chúng ta simplifiy biểu thức:

1. **Rút gọn tử số:**
\[
n^2 + 1
\]

2. **Rút gọn mẫu số:**
\[
n^3 - 3n - 1 - (2n^3 + 1) = n^3 - 3n - 1 - 2n^3 - 1 = -n^3 - 3n - 2
\]

Vậy biểu thức trở thành:
\[
\frac{n^2 + 1}{-n^3 - 3n - 2}
\]

3. **Tính toán một số giá trị cụ thể:**
Thay vào biểu thức một số giá trị của \(n\) để kiểm tra tính chia hết cho 5:
- Khi \(n = 0\):
\[
\frac{0^2 + 1}{-0^3 - 3 \cdot 0 - 2} = \frac{1}{-2}
\]
- Khi \(n = 1\):
\[
\frac{1^2 + 1}{-1^3 - 3 \cdot 1 - 2} = \frac{2}{-6} = -\frac{1}{3}
\]
- Khi \(n = 2\):
\[
\frac{2^2 + 1}{-2^3 - 3 \cdot 2 - 2} = \frac{5}{-12}
\]
- Khi \(n = 3\):
\[
\frac{3^2 + 1}{-3^3 - 3 \cdot 3 - 2} = \frac{10}{-38}
\]

Nâng cao nghiên cứu về tính chất số học và kiểm tra một số bộ số khác cho thấy mẫu số luôn âm trong khi tử số có thể lệ thuộc vào các giá trị khác nhau, vậy không cần thiết phải chia cho 5 do biểu thức phụ thuộc vào \(n\).

4. **Kết luận:**
Để chứng minh tính chia hết cho 5, bạn có thể thực hiện kiểm tra số dư \(\text{mod}\ 5\) với một số giá trị của \(n\), hoặc sử dụng một quy luật nào đó từ lý thuyết số. Nếu mẫu số cho giá trị không cho phép, có thể xác nhận biểu thức có tồn tại hay không cho \(n\) cụ thể trong bài đã cho.