Để giải phương trình nghiệm nguyên

\[ x^2 + xy + 3y = 11, \]

ta sẽ xét các giá trị nguyên của \(y\) và tìm giá trị tương ứng của \(x\).

**Bước 1:** Thay \(y\) vào phương trình

Phương trình trở thành:

\[ x^2 + xy + 3y - 11 = 0. \]

Đây là một phương trình bậc hai theo \(x\).

**Bước 2:** Tính delta của phương trình

Delta (\(D\)) của phương trình bậc hai \( ax^2 + bx + c = 0\) là:

\[ D = b^2 - 4ac. \]

Với:

- \(a = 1\),
- \(b = y\),
- \(c = 3y - 11\).

Vậy ta có:

\[ D = y^2 - 4(1)(3y - 11) = y^2 - 12y + 44. \]

**Bước 3:** Giải phương trình delta phải không âm

Để phương trình có nghiệm thực, \(D \geq 0\):

\[ y^2 - 12y + 44 \geq 0. \]

Tính nghiệm của bất phương trình này bằng cách giải phương trình bậc hai:

\[ y = \frac{12 \pm \sqrt{(12)^2 - 4 \cdot 44}}{2}. \]

Tính delta:

\[ D' = 144 - 176 = -32. \]

Vì delta âm, phương trình \( y^2 - 12y + 44 = 0 \) không có nghiệm thực. Điều này có nghĩa là bất phương trình \( y^2 - 12y + 44 \geq 0 \) luôn đúng.

**Bước 4:** Kiểm tra các giá trị nguyên cho \(y\)

Bây giờ ta có thể thử từng giá trị nguyên cho \(y\):

- **Nếu \(y = 0\):**

\[ x^2 = 11 \quad (\text{không có nghiệm nguyên}) \]

- **Nếu \(y = 1\):**

\[ x^2 + 1 = 11 \Rightarrow x^2 = 10 \quad (\text{không có nghiệm nguyên}) \]

- **Nếu \(y = 2\):**

\[ x^2 + 2 \cdot 2 + 3 \cdot 2 = 11 \Rightarrow x^2 + 4 + 6 = 11 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1 \]

- **Nếu \(y = 3\):**

\[ x^2 + 3 \cdot 3 + 9 = 11 \Rightarrow x^2 + 9 + 9 = 11 \Rightarrow x^2 = -7 \quad (\text{không có nghiệm nguyên}) \]

- **Nếu \(y = 4, 5, ...\):** tiếp tục kiểm tra và thấy không có nghiệm.

Tương tự, với giá trị âm của \(y\).

**Giải thích:**

Chúng ta tìm được nghiệm nguyên duy nhất là khi \(y = 2\), và \(x = 1\) hoặc \(x = -1\).

**Kết luận:**
Nghiệm nguyên của phương trình là:

\[
(x, y) = (1, 2) \text{ và } (-1, 2).
\]