Để giải bài tập này, chúng ta sẽ đi từng phần một.

### a) Chứng minh B, K, H và C cùng nằm trên một đường tròn. Xác định tâm đường tròn đó.

1. **Xác định các điểm:**
- Gọi \( BH \) là đường cao từ \( B \) xuống \( AC \).
- Gọi \( CK \) là đường cao từ \( C \) xuống \( AB \).
- Điểm giao nhau của hai đường cao \( BH \) và \( CK \) là \( I \).

2. **Chứng minh:**
- Tứ giác \( BHKC \) là tứ giác nội tiếp vì \( BH \) vuông góc với \( AC \) và \( CK \) vuông góc với \( AB \).
- Do đó, góc \( BHK + \angle BCK = 180^\circ \) (do tính chất của tứ giác nội tiếp).
- Suy ra B, K, H, C nằm trên cùng một đường tròn.

3. **Xác định tâm đường tròn:**
- Tâm của đường tròn đi qua B, K, H, C là giao điểm của các đường trung trực của các đoạn thẳng \( BH \) và \( CK \).

### b) Tia \( AI \) cắt \( BC \) tại \( M \). Chứng minh bốn điểm \( B, K, I, M \) cùng thuộc một đường tròn.

1. **Chứng minh:**
- Từ định nghĩa, điểm \( I \) là giao điểm của hai đường cao \( BH \) và \( CK \).
- Tia \( AI \) cắt \( BC \) tại điểm \( M \).
- Tứ giác \( BKIM \):
- Xét góc \( BKI \) và góc \( BMI \).
- Góc \( BKI = 90^\circ \) (vì \( KI \) là đường cao từ \( K \)).
- Góc \( BMI \) cũng vuông.

2. **Kết luận:**
- Vì \( BKIM \) là tứ giác có các góc trong cùng diện tích (có góc vuông), nên \( B, K, I, M \) cũng nằm trên cùng một đường tròn.

Như vậy, ta đã chứng minh được cả hai phần trong bài tập.