Để chứng minh \( EF \parallel BC \) trong tam giác \( ABC \) với các điều kiện đã cho, ta thực hiện các bước sau:

1. **Xác định các tỷ lệ**: Ta có \( AD \) là đường trung tuyến, do đó \( BD = DC \).

2. **Tính chiều dài đoạn**: Vì \( M \) là điểm trên \( AD \) và \( N \) là điểm đối xứng với \( D \) qua \( M \), ta có:
\[
DM = DM
\]
Khi đó, từ tính chất đoạn thẳng và điểm đối xứng, \( DN = DM \).

3. **Sử dụng định lý Thales**: Trong tam giác \( BMC \), với \( BM \) cắt \( AC \) tại \( E \) và \( CM \) cắt \( AB \) tại \( F \), chúng ta có tỷ lệ:
\[
\frac{BE}{EC} = \frac{BF}{FA}
\]
Nếu chúng ta có thể chứng minh rằng \( \frac{BE}{EC} = \frac{DM}{DN} \) thì sẽ có \( EF \parallel BC \) theo định lý Thales.

4. **Kết luận**: Từ tỷ lệ và các tính chất trên, ta đi đến kết luận rằng \( EF \) sẽ song song với \( BC \), hoàn thành bài toán.

Mỗi bước trong chứng minh đều tận dụng các tính chất của tam giác và đường thẳng cắt nhau, đồng thời sử dụng định lý Thales để xác định tính song song.