Chứng minh các mệnh đề trong bài toán này có thể thực hiện theo các bước sau:

### a) Chứng minh \( ED \parallel BC \)

1. Xét tam giác \( ABC \) với các trung tuyến \( BD \) và \( CE \).
2. Theo định lý về trung tuyến, \( D \) và \( E \) là trung điểm của các cạnh \( AC \) và \( AB \).
3. Do đó, \( ED \) nối hai trung điểm nên \( ED \parallel BC \) theo định lý (trung điểm chia đoạn thẳng thành hai đoạn tỉ lệ).

### b) Chứng minh \( \triangle AHB \) là hình bình hành

1. Lấy điểm \( H \) trên \( CH \) sao cho \( E \) là trung điểm của \( CH \).
2. Vì \( D \) là trung điểm của \( BK \), ta có \( BD \parallel ED \) và \( BC \parallel ED \).
3. Theo tính chất của hình bình hành, \( AH \parallel BC \), \( AB \parallel HK \) và \( BH = AH \).
4. Do đó, \( \triangle AHB \) có tính chất của hình bình hành.

### c) Chứng minh \( AK \parallel BC \)

1. Nhờ vào việc \( D \) và \( E \) là trung điểm, ta có \( DK = DB = \frac{1}{2} AB \).
2. Tiếp tục áp dụng tính chất của tam giác, ta thấy \( AK \) nối điểm \( A \) với \( K \) theo định nghĩa của trung điểm và \( AK \parallel BC \).

### d) Chứng minh \( A \) là trung điểm của \( HK \)

1. Xét đoạn thẳng \( HK \) và biết rằng \( E \) và \( D \) là trung điểm.
2. Vì \( E \) và \( D \) là trung điểm của \( CH \) và \( BK \), nên \( A \) nằm ở giữa đoạn thẳng \( HK \).
3. Do đó, \( A \) chính là trung điểm của \( HK \).

Tóm lại, theo các bước trên, ta đã chứng minh các mệnh đề đã cho.