Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( P \):

\[
P = \sqrt{3a^2 - 2ab + 3b^2} + \sqrt{5b^2 - 6bc + 5c^2} + \sqrt{6c^2 - 8ca + 6a^2},
\]

chúng ta có thể áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz hoặc nhận diện các biểu thức dưới căn.

1. **Tính các biểu thức dưới căn**:
- Biểu thức đầu tiên \( 3a^2 - 2ab + 3b^2 \) có thể viết lại dưới dạng:
\[
3\left(a^2 - \frac{2}{3}ab + b^2\right) = 3\left((a - \frac{b}{3})^2 + \frac{8}{9}b^2\right),
\]
vì vậy \( \sqrt{3a^2 - 2ab + 3b^2} \geq 2\sqrt{ab} \).

- Tương tự, bạn có thể phân tích các biểu thức còn lại.

2. **Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz**:
\[
P \geq \sqrt{(1^2 + 1^2 + 1^2)(3a^2 + 5b^2 + 6c^2)} = \sqrt{3(3a^2 + 5b^2 + 6c^2)}.
\]

3. **Tối ưu hóa**: Để tìm giá trị cụ thể có thể yêu cầu bạn thay thế \( a, b, c \) cho các giá trị cụ thể sao cho phương trình \( ax^2 + bx + c + 2023 = 0 \) có nghiệm tại \( x = 1 \). Bạn có thể dùng điều kiện này để tìm các giá trị cụ thể thích hợp cho \( a, b, c \).

Tóm lại, bạn cần tối ưu hóa các giá trị của \( a, b, c \) để tìm được giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( P \). Việc tính toán cụ thể sẽ giúp bạn xác định xem giá trị nhỏ nhất là bao nhiêu.