Để giải quyết bài toán này, ta sẽ thực hiện từng phần theo yêu cầu:

### a) Chứng minh tam giác ABM bằng tam giác ACM.

Trong tam giác ABC cân tại A, ta có:
- \( AB = AC \) (định nghĩa tam giác cân)
- Đường trung tuyến AM chia BC thành hai đoạn bằng nhau: \( BM = MC \)

Vậy ta có:
- \( AM = AM \) (cạnh chung)
- Tam giác ABM và tam giác ACM có 2 cạnh và 1 góc giữa bằng nhau.

Do đó, theo tiêu chuẩn chứng minh hai tam giác bằng nhau (cạnh - cạnh - cạnh hoặc cạnh - góc - cạnh), ta có:
\[ \triangle ABM \cong \triangle ACM \]
Nên ta có \( MB = MC \) và \( AB = AC \).

### b) Chứng minh ME bằng MF.

M vì là trung điểm không chỉ của BC mà còn vì AM là đường trung tuyến, nên tam giác ABM và tam giác ACM là tương đương (như đã chứng minh ở phần a). Do đó, các đường vuông góc từ M đến AB và AC (tức là ME và MF) cũng có độ dài bằng nhau.

Vậy có thể suy ra \( ME = MF \).

### c) Tính AG bằng GM.

Trọng tâm G của tam giác ABC chia mỗi đường trung tuyến (AM) thành tỉ lệ 2:1, tức là:
\[
AG = \frac{2}{3} AM \quad \text{và} \quad GM = \frac{1}{3} AM
\]

Vì \( AM = 12 \) cm, ta tính:
\[
AG = \frac{2}{3} \cdot 12 = 8 \text{ cm}
\]
\[
GM = \frac{1}{3} \cdot 12 = 4 \text{ cm}
\]

### d) Tính BK, BI, CI, CG và so sánh BK và CI.

Giả sử \( BK \) và \( CI \) là hai đường trung tuyến tương ứng với hai bên là \( AB \) và \( AC \).

- Theo đề bài:
- \( BG = 6 \) cm
- \( GI = 3 \) cm

Sử dụng đặc tính của trọng tâm:
\[
BK = BG + GK
\]
Với GK = 2GI = 2 \cdot 3 = 6 cm (vì G chia mỗi đoạn tỉ lệ 2:1).

Do đó:
\[
BK = 6 + 6 = 12 \text{ cm}
\]

Tương tự với CI:
\[
CI = CG + GI
\]
Với CG = 2 \cdot 6 = 12 cm.

Do đó, ta có:
\[
CI = 12 + 3 = 15 \text{ cm}
\]

### Tóm lại:
- \( BK = 12 \) cm
- \( CI = 15 \) cm
- \( \text{So sánh } BK < CI \)

### Nhận xét về đường trung tuyến trong tam giác cân:
Trong tam giác cân, đường trung tuyến từ đỉnh đến đáy không chỉ chính giữa mà còn là đường đối xứng. Các đường trung tuyến từ các đỉnh đến cạnh đáy hayc dòng bìa đều có mối quan hệ với nhau một cách đồng đều và có tính chất đối xứng. Vì vậy, bất kỳ đường trung tuyến nào đều sẽ cắt nhau tại cùng một điểm (trọng tâm), đồng thời tương đương về chiều dài do tính đối xứng.