Cho tam giác ABC đều nội tiếp (O). Lấy điểm M thuộc cung BC nhỏ lấy điểm D thuộc AM thỏa mãn AD = BM

Để giải bài toán, ta sẽ phân tích từng phần một:

**Giả thiết**: Tam giác \( ABC \) đều nội tiếp đường tròn \( (O) \). Điểm \( M \) thuộc cung \( BC \) nhỏ, điểm \( D \) thuộc đoạn thẳng \( AM \) sao cho \( AD = BM \).

### a) Chứng minh tam giác \( ADM \) bằng tam giác \( BMC \)

Để chứng minh hai tam giác \( ADM \) và \( BMC \) bằng nhau, ta sẽ sử dụng các yếu tố như cạnh, góc.

1. **Cạnh AD và BM**: Theo giả thiết, ta có \( AD = BM \).
2. **Cạnh AM và BC**: Trong tam giác đều \( ABC \), đoạn \( BC \) là đáy của tam giác đều, tức là \( AM \) cắt cạnh \( BC \) tại một điểm tạo thành một góc bằng nhau. Do đó, \( AM = BM \).
3. **Góc**: Vì \( ABC \) là tam giác đều nên các góc của nó đều bằng nhau. Khi \( M \) di chuyển trên cung \( BC \), góc \( ADM \) và góc \( BMC \) cũng tương ứng gối nhau.

Từ đó, ta có thể kết luận rằng:
\[
\triangle ADM \cong \triangle BMC \quad (\text{theo tiêu chí cạnh-cạnh-cạnh})
\]

### b) Chứng minh tam giác \( MCD \) đều

Để chứng minh tam giác \( MCD \) đều, chúng ta sẽ xem xét các yếu tố của tam giác này.

1. **Góc MCD**: Bởi vì \( M \) nằm trên cung \( BC \) nhỏ, góc \( BMC \) là góc ngoài của tam giác \( ABC \). Do đó, góc \( MCD = 60^\circ \) (góc này là góc trong của tam giác đều).
2. **Cạnh MC và CD**: Ta đã biết \( AD = BM \). Về mặt tọa độ, vì \( D \) nằm trên \( AM \) và đoạn thẳng \( AD = BM \), điều này khiến cho độ dài \( MC = CD \).

Từ hai yếu tố trên (góc và cạnh), ta có thể kết luận rằng:
\[
\triangle MCD \text{ là tam giác đều.}
\]

Tóm lại, ta có:
- Phần a) \( \triangle ADM \cong \triangle BMC \).
- Phần b) \( \triangle MCD \) là tam giác đều.