Để chứng minh rằng đa thức \( M = x^{3n+1} + x^{3n-1} + 1 \) chia hết cho đa thức \( x^2 + x + 1 \), ta sẽ sử dụng tiêu chuẩn chia hết cho nhiều thức.

### Bước 1: Tìm nghiệm của \( x^2 + x + 1 \)

Đa thức \( x^2 + x + 1 \) có nghiệm là:

\[
\omega = e^{2\pi i / 3} \quad \text{và} \quad \omega^2 = e^{-2\pi i / 3}
\]

có thuộc tính:

\[
\omega^3 = 1 \quad \text{và} \quad 1 + \omega + \omega^2 = 0
\]

### Bước 2: Tính giá trị \( M \) tại các nghiệm

Ta tính giá trị của \( M \) tại \( \omega \):

\[
M(\omega) = \omega^{3n+1} + \omega^{3n-1} + 1
\]

Vì \( \omega^3 = 1 \), ta có:

\[
\omega^{3n+1} = \omega \quad \text{và} \quad \omega^{3n-1} = \omega^{-1} = \omega^2
\]

### Bước 3: Thay vào công thức

Thay giá trị vào \( M \):

\[
M(\omega) = \omega + \omega^2 + 1
\]

Theo định nghĩa nghiệm:

\[
\omega + \omega^2 + 1 = 0
\]

### Kết luận

Vì \( M(\omega) = 0 \) và tương tự với \( \omega^2 \), cho thấy rằng \( M(x) \) có các nghiệm của \( x^2 + x + 1 \). Do đó, \( M \) chia hết cho \( x^2 + x + 1 \).

### Vậy kết luận là:

\[
M = x^{3n+1} + x^{3n-1} + 1 \quad \text{chia hết cho} \quad x^2 + x + 1 \text{ với } n \in \mathbb{N}.
\]