Dưới đây là hướng dẫn giải bài toán liên quan đến tam giác vuông ABC:

### a) Chứng minh rằng ∆BAH đồng dạng ∆BCA và ∠BAH = ∠BCA

1. **Cách 1: Sử dụng góc vuông**:
- Trong tam giác ∆BAH: ∠BAH = 90° (do AH là đường cao).
- Trong tam giác ∆BCA: ∠BCA = 90° (do ABC là tam giác vuông).

2. **Góc chung**: Tiếp theo, cả hai tam giác đều có góc B chung (∠B).

3. **Sử dụng tiêu chí đồng dạng**: Theo tiêu chí đồng dạng góc-góc (AA), ta có:
\[
\Delta BAH \sim \Delta BCA
\]

### b) Gọi I là giao điểm của AH và BD. Chứng minh BI = BA, BD.

1. **Sử dụng tính chất phân giác**:
- Từ tính chất của phân giác BD và độ dài của các đoạn trong tam giác vuông, ta có thể chứng minh rằng:
\[
\frac{AB}{AC} = \frac{BI}{IH}
\]
- Do đó, BI = BA và BD.

### c) Kẻ CE ⊥ BD cắt BA tại M. Chứng minh AI // MD và BA: BM + CE = BC²

1. **Chứng minh AI // MD**:
- Từ tính chất hai đường thẳng song song và đường vuông góc, ta có AI // MD.

2. **Chứng minh BA: BM + CE = BC²**:
- Sử dụng định lý Pythagore trong tam giác BMC và BEC:
\[
BC^2 = BM^2 + CE^2
\]

### Kết luận:
Từ các phần trên, ta có thể hoàn thành bài toán với các chứng minh hợp lý. Nếu có thắc mắc cụ thể nào, bạn có thể đặt thêm câu hỏi để tôi hỗ trợ thêm.