Để chứng minh rằng tam giác \( \Delta AEF \) là tam giác cân và giải quyết các yêu cầu đã cho, ta tiến hành theo các bước:

### a) Chứng minh \( \Delta AEF \) cân

1. Xét tam giác \( \Delta ABC \) cân tại \( A \) có \( AB = AC \).
2. Ta đã có điểm \( E \) trên tia đối của \( BC \) và điểm \( F \) trên tia đối của \( CB \) sao cho \( BE = CF \).
3. Gọi \( BE = CF = x \).
4. Ta có đoạn thẳng \( AE \) và \( AF \) cần chứng minh.
5. Lưu ý rằng hình chiếu của cạnh \( AB \) trên đường thẳng \( AE \) và hình chiếu của cạnh \( AC \) trên đường thẳng \( AF \) là bằng nhau do tính chất của tam giác cân.
6. Ta có:
\[
AE = AB + BE \quad \text{và} \quad AF = AC + CF
\]
Vì \( BE = CF \) và \( AB = AC \), ta có:
\[
AE = AF
\]
7. Do đó, \( \Delta AEF \) cân tại \( A \) với \( AE = AF \).

### b) Chứng minh \( \Delta EBH = \Delta FCK \)

1. Vẽ \( BH \) vuông góc với đường thẳng \( AE \) tại điểm \( B \) và vẽ \( CK \) vuông góc với đường thẳng \( AF \) tại điểm \( F \).
2. Từ các đường vẽ trên:
- \( BH \perp AE \)
- \( CK \perp AF \)
3. Điểm \( E \) và \( F \) đều nằm trên cạnh đối diện của tam giác \( ABC \). Có thể thấy \( EB = CF \) (điều này đúng như đã nêu trong yêu cầu).
4. Như vậy, ta có:
- \( EB = CF \)
- \( BH = CK \) (cùng là chiều cao từ đỉnh tam giác xuống cạnh đáy)
- \( \angle EBH = \angle FCK = 90^\circ \) (theo định nghĩa vuông góc)
5. Từ đó, ta áp dụng tiêu chí tam giác bằng nhau:
- 2 cạnh và 1 góc giữa 2 tam giác:
\[
\Delta EBH \cong \Delta FCK
\]

### c) Xác định loại tam giác \( IBC \)

1. Các đường thẳng \( HB \) và \( KC \) cắt nhau tại điểm \( I \).
2. Ta cần chứng minh \( \Delta IBC \) là tam giác vuông.
3. Vì \( HB \perp AE \) và \( CK \perp AF \) và tứ giác \( AEF \) là tứ giác đều, suy ra \( \angle AIB = \angle AIC = 90^\circ \).
4. Do đó, ta có:
- \( \angle IBC + \angle ICB + \angle AIB = 180^\circ \)
- Bởi \( \angle IBC + \angle ICB + 90^\circ = 180^\circ \) thì suy ra \( \angle IBC + \angle ICB = 90^\circ \).
5. Kết luận rằng \( \Delta IBC \) là tam giác vuông tại \( I \).

Tóm lại:

- \( \Delta AEF \) là tam giác cân tại \( A \).
- \( \Delta EBH \) và \( \Delta FCK \) là hai tam giác bằng nhau.
- \( \Delta IBC \) là tam giác vuông tại \( I \).