Để chứng minh rằng \( \angle CAH = \angle CBD \) trong tam giác nhọn \( \triangle ABC \) với hai đường cao \( AH \) và \( BD \), ta có thể sử dụng tính chất của các góc phụ thuộc vào các tam giác vuông.

1. **Góc vuông:** Đầu tiên, nhận thấy rằng \( AH \) và \( BD \) là các đường cao của tam giác, vì vậy \( \angle AHB = 90^\circ \) và \( \angle BDC = 90^\circ \).

2. **Góc phụ:** Bắt đầu từ tam giác vuông \( \triangle AHB \):
- \( \angle CAH = 90^\circ - \angle AHB \)

Và từ tam giác vuông \( \triangle BDC \):
- \( \angle CBD = 90^\circ - \angle BDC \)

3. **Dùng tính chất của góc:** Ta thấy rằng:
\[
\angle CAH + \angle AHB = 90^\circ
\]
\[
\angle CBD + \angle BDC = 90^\circ
\]

4. **Kết luận:** Từ hai biểu thức trên, nếu \( \angle AHB = \angle BDC \), thì \( \angle CAH = \angle CBD \).

Vì \( AH \) và \( BD \) là hai đường cao và \( \angle AHB = \angle BDC \) do tính chất của hai tam giác vuông này trong cùng một tam giác, ta có thể khẳng định rằng \( \angle CAH = \angle CBD \).

Vậy, kết luận \( \angle CAH = \angle CBD \) đã được chứng minh.