Cho cot a = -3√2 với π/2

Để giải bài toán này, trước tiên chúng ta sẽ sử dụng định nghĩa của cotangent và công thức biến đổi giữa các hàm số lượng giác.

Ta có \( \cot a = -3\sqrt{2} \). Từ đó, ta có thể tính được \( \tan a \):

\[
\tan a = \frac{1}{\cot a} = \frac{1}{-3\sqrt{2}}
\]

Bây giờ, chúng ta cần tìm \( \tan \frac{a}{2} \) và \( \cot \frac{a}{2} \). Chúng ta sẽ sử dụng công thức:

\[
\tan \frac{a}{2} = \frac{1 - \cos a}{\sin a} = \frac{\sin a}{1 + \cos a}
\]

Với \( \cot a = -3\sqrt{2} \), ta có thể tìm ra sin và cos như sau:
\[
\cot a = \frac{\cos a}{\sin a} \implies \cos a = -3\sqrt{2} \sin a
\]

Sử dụng Pythagoras:

\[
\sin^2 a + \cos^2 a = 1
\]
\[
\sin^2 a + (-3\sqrt{2}\sin a)^2 = 1
\]
\[
\sin^2 a + 18\sin^2 a = 1
\]
\[
19\sin^2 a = 1 \implies \sin^2 a = \frac{1}{19} \implies \sin a = \frac{1}{\sqrt{19}} \text{ (chọn dấu dương vì } \sin a < 0 \text{ cho } a \in \left(\frac{\pi}{2}, \pi\right))}
\]

Tính \( \cos a \):

\[
\cos a = -3\sqrt{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{19}} = -\frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{19}}
\]

Bây giờ, để tính \( \tan \frac{a}{2} \) và \( \cot \frac{a}{2} \):

\[
\tan \frac{a}{2} = \frac{1 - \cos a}{\sin a} = \frac{1 + \frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{19}}}{\frac{1}{\sqrt{19}}}
\]

Tính toán:

\[
\tan \frac{a}{2} = \left( 1 + \frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{19}} \right) \cdot \sqrt{19} = \sqrt{19} + 3\sqrt{38}
\]

\( \cot \frac{a}{2} = \frac{1 + \cos a}{\sin a} = \frac{1 - \frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{19}}}{\frac{1}{\sqrt{19}}}
\]

Tính toán:
\[
\cot \frac{a}{2} = \left( 1 - \frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{19}} \right) \cdot \sqrt{19} = \sqrt{19} - 3\sqrt{38}
\]

Cuối cùng, \( \tan \frac{a}{2} + \cot \frac{a}{2} \) bằng:

\[
\sqrt{19} + 3\sqrt{38} + \sqrt{19} - 3\sqrt{38} = 2\sqrt{19}
\]

Vậy:

\[
\tan \frac{a}{2} + \cot \frac{a}{2} = 2\sqrt{19}
\]