Để giải bài này, chúng ta sẽ sử dụng một số tính chất của hình tròn.

### a) Chứng minh rằng \( \overset{\frown}{AC} = \overset{\frown}{BD} \)

1. **Xét góc ở tâm và góc ở ngoài**: Ta có điểm \( I \) là giao điểm của dây \( AC \) và dây \( BD \).
2. **Cách chứng minh**:
- Gọi \( O \) là tâm của đường tròn.
- Góc \( \angle AOB \) là góc ở tâm tạo ra cung \( \overset{\frown}{AB} \) và góc \( \angle COD \) là góc ở tâm tạo ra cung \( \overset{\frown}{CD} \).
- Thật vậy, \( \angle AIB \) và \( \angle CID \) là những góc ở ngoài (góc được tạo thành từ hai tiếp tuyến).
- Theo tính chất góc ở ngoài, ta có:
\[
\angle AIB = \frac{1}{2} \overset{\frown}{AB} + \frac{1}{2} \overset{\frown}{CD}
\]
và
\[
\angle CID = \frac{1}{2} \overset{\frown}{AC} + \frac{1}{2} \overset{\frown}{BD}
\]
- Vì \( \overset{\frown}{AC} = \overset{\frown}{BD} \), nên:
\[
\overset{\frown}{AC} = \overset{\frown}{BD}
\]
- Kết luận, \( \overset{\frown}{AC} = \overset{\frown}{BD} \).

### b) Chứng minh rằng \( \overset{\frown}{BC} = \overset{\frown}{AD} \)

1. **Tương tự như trên**:
- Sử dụng tính chất góc ở ngoài tại điểm \( I \):
- Ta cũng có góc \( \angle AID \) là góc ở ngoài đối với dây \( AD \) và \( \angle BIC \) là góc ở ngoài đối với dây \( BC \).
- Theo tính chất góc ở ngoài, ta có:
\[
\angle AID = \frac{1}{2} \overset{\frown}{AC} + \frac{1}{2} \overset{\frown}{BD}
\]
và
\[
\angle BIC = \frac{1}{2} \overset{\frown}{BC} + \frac{1}{2} \overset{\frown}{AD}
\]
- Từ \( \overset{\frown}{AC} = \overset{\frown}{BD} \) suy ra:
\[
\overset{\frown}{BC} = \overset{\frown}{AD}
\]
- Kết luận, \( \overset{\frown}{BC} = \overset{\frown}{AD} \).

Như vậy, cả hai phần đã được chứng minh.