Để tính bán kính \( R \) của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, ta có thể sử dụng công thức liên hệ giữa bán kính \( R \), cạnh \( a \), \( b \), chiều cao \( S \) đối diện với cạnh \( c \):

\[
R = \frac{abc}{4S}
\]

Trong đó:
- \( a = 3 \) là cạnh \( BC \),
- \( b = 4 \) là cạnh \( AC \),
- \( S = 3\sqrt{3} \) là diện tích của tam giác.

Trước tiên, chúng ta cần tính cạnh \( c \). Bằng cách sử dụng định lý Heron hoặc công thức diện tích trong tam giác, nhưng trong trường hợp này chúng ta có thể tìm \( c \) qua công thức cho diện tích:

\[
S = \frac{1}{2}ab \sin C
\]

Từ đó, ta có \( \sin C = \frac{2S}{ab} \). Thay các giá trị vào:

\[
S = 3\sqrt{3} \\
ab = 3 \cdot 4 = 12
\]

Vậy:

\[
\sin C = \frac{2 \cdot 3\sqrt{3}}{12} = \frac{6\sqrt{3}}{12} = \frac{\sqrt{3}}{2}
\]

Từ đây, ta có \( C = 60^\circ \).

Giờ chúng ta có thể tính cạnh \( c \) qua định lý Cosine:

\[
c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C
\]

Với \( \cos 60^\circ = \frac{1}{2} \):

\[
c^2 = 3^2 + 4^2 - 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot \frac{1}{2}
\]
\[
c^2 = 9 + 16 - 12 = 13 \\
c = \sqrt{13}
\]

Giờ ta biết được \( a, b, c \) và có thể tính \( R \):

\[
R = \frac{abc}{4S} = \frac{3 \cdot 4 \cdot \sqrt{13}}{4 \cdot 3\sqrt{3}}
\]
\[
R = \frac{12 \sqrt{13}}{12\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{13}}{\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{13}{3}}.
\]

Kết quả cuối cùng là:

\[
R = \sqrt{\frac{13}{3}}.
\]