Để giải bài toán này, chúng ta sẽ làm theo từng yêu cầu:

### a) Chứng minh IA = IB = IC:

1. **Xét tam giác vuông ABC** với  \(\angle A = 90^\circ\). Đường cao AH tạo thành ba tam giác: \( \triangle AIB, \triangle AIC\), và \( \triangle AHC \) đều vuông tại A.

2. **E là điểm trên AC** và I là giao điểm của đường trung trực AC với BC. Theo định nghĩa của đường trung trực, \( EI = EA \).

3. Sử dụng định lý đường trung trực: Đối với mọi điểm I nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AC, ta có:

\[
IA = IC
\]

4. Bây giờ, vì ha và bi đều vuông góc với AC (do AH là đường cao), ta có:

\[
IB = IA \quad \text{và} \quad IC = IA
\]

Do đó, \( IA = IB = IC \).

### b) Gọi M là trung điểm của đoạn AI, chứng minh MH = ME:

1. **Xét M là trung điểm của AI** nên \( AM = MI \).

2. Đưa ra hai tam giác: \( \triangle AMH \) và \( \triangle EMH \).

3. Vì M là trung điểm và sử dụng định lý đường trung trực, ta có:

\[
MH = MA \quad \text{và} \quad ME = MA
\]

4. Do đó \( MH = ME \).

Chứng minh xong.