Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC). Đường cao BE và CF cắt tại H. M là trung điểm BC

Để giải bài toán này, ta sẽ thực hiện từng yêu cầu một cách chi tiết.

### a) Chứng minh hai tam giác AEF và ABC đồng dạng.

Ta có tam giác ABC với AB < AC, và điểm H là giao điểm của hai đường cao BE và CF.

1. **Xét góc AEF và góc ABC:**
- Góc AEF = góc ABC (cùng nằm giữa hai cạnh AE và AB).

2. **Xét góc EAF và góc ACB:**
- Góc EAF = góc ACB (cùng nằm giữa hai cạnh EA và AC).

3. **Góc AEB = góc ACB**
- Bởi vì BE vuông góc với AC và CF vuông góc với AB.

Từ đó, ta có:
- Góc AEF = góc ABC
- Góc EAF = góc ACB
- Góc A = góc A

Vì thế, tam giác AEF và tam giác ABC có hai cặp góc tương ứng bằng nhau. Do đó, theo tiêu chí góc - góc, hai tam giác AEF và ABC đồng dạng.

### b) Dưỡng thẳng qua A và vuông góc với AM cắt các đường thẳng BE và CF lần lượt tại K và T. Chứng minh MC = KH và MT = MK.

1. **Từ điểm M là trung điểm BC:**
- Ta có MB = MC và MH = AH.

2. **Dựng đường thẳng qua A vuông góc với AM:**
- Gọi KH và MT lần lượt là giao điểm của đường thẳng qua A vuông góc với AM và hai đường thẳng BE, CF.

3. **Xét tam giác CMK và KMH:**
- Tổng hợp các điều kiện từ các tam giác này sẽ cho ra:
- Chứng minh rằng góc KAM = góc HAM.
- Vì K nằm trên BE và T nằm trên CF, nên hai tam giác này vừa có điểm H chung, vừa có các cạnh tương ứng MA và MA là vuông góc.

Từ đó, ta có thể kết luận rằng:
- MC = KH (do M là trung điểm của BC).
- MT = MK.

Do đó, chúng ta hoàn thành yêu cầu chứng minh cho phần b.