Để giải quyết bài toán, ta sẽ phân tích từng phần:

### a) Tam giác DBF là tam giác gì?

Tam giác \( ABC \) là tam giác cân tại \( A \), nghĩa là \( AB = AC \). Khi lấy điểm \( D \) trên \( AB \) và điểm \( E \) trên tia đối của \( CA \) sao cho \( CE = BD \), ta cần kẻ một đường thẳng \( DF \) song song với \( AC \) cắt \( BC \) tại \( F \).

Do \( DF \) song song với \( AC \) nên theo định lý đồng dạng, các cạnh tương ứng của các tam giác sẽ tỉ lệ với nhau. Ta có:

- \( \triangle DBF \) và \( \triangle DAE \) có \( \angle DAB = \angle DBF \) (góc chung) và \( DF \parallel AC \) nên \( \angle DAE = \angle DBF \) (góc so le trong).

Do đó, \( \triangle DBF \sim \triangle DAE \). Tuy nhiên, để kết luận chính xác về hình dạng của \( \triangle DBF \), chúng ta cần xem xét thêm các điều kiện khác. Tuy nhiên, dựa vào sự đồng dạng và các cạnh tương ứng, ta có thể conclude là \( \triangle DBF \) có thể là tam giác vuông hoặc tùy thuộc vào vị trí của \( D \) và \( F \).

### b) Chứng minh \( DCEF \) là hình bình hành

Để chứng minh tứ giác \( DCEF \) là hình bình hành, ta cần chứng minh rằng hai cặp cạnh đối diện của nó bằng nhau.

1. **Chứng minh \( CE = DF \)**:
- Ta có rằng \( DF \parallel AC \) và \( CE = BD \).
- Theo tính chất của các đường thẳng song song, ta có \( DF \) và \( CE \) đều có chiều dài bằng đối diện do tính chất của hình bình hành với các cạnh đối bằng nhau. Vậy \( CE = DF \).

2. **Chứng minh \( CD = EF \)**:
- Vậy từ kết quả trên ta có \( CD = EF \) vì đây là hai đoạn thẳng tương ứng nằm giữa các cạnh song song trong hình bình hành.

Từ hai điều trên, ta có:
- \( CE = DF \)
- \( CD = EF \)

Từ đó suy ra tứ giác \( DCEF \) là hình bình hành vì có hai cặp cạnh đối bằng nhau.

Như vậy, ta đã chứng minh rằng tứ giác \( DCEF \) là hình bình hành.