Để chứng minh 4 điểm \( M, N, P, Q \) trong tứ giác \( ABCD \) với hai đường chéo vuông góc thuộc một đường tròn, ta thực hiện như sau:

1. **Gọi A, B, C, D là 4 điểm trong mặt phẳng:**
- Đặt \( O \) là điểm giao nhau của hai đường chéo \( AC \) và \( BD \).

2. **Tính toán vị trí các điểm trung điểm:**
- Điểm \( M \) là trung điểm của đoạn thẳng \( AB \).
- Điểm \( N \) là trung điểm của đoạn thẳng \( BC \).
- Điểm \( P \) là trung điểm của đoạn thẳng \( CD \).
- Điểm \( Q \) là trung điểm của đoạn thẳng \( DA \).

3. **Tính chất của tứ giác với hai đường chéo vuông góc:**
- Do 2 đường chéo \( AC \) và \( BD \) vuông góc với nhau, ta có \( \angle AOB + \angle COD = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ \) (vì điểm \( O \) là giao điểm của hai đường chéo).
- Điều này chứng tỏ rằng tứ giác \( AOBD \) và \( CODA \) là tứ giác mà đường chéo vuông góc giao nhau tại \( O \).

4. **Kết luận:**
- Khi các điểm \( M, N, P, Q \) đều nằm trên các đoạn thẳng của tứ giác với hai đường chéo vuông góc, ta có:
\[
\angle MNP + \angle MPQ + \angle PQM + \angle QMN = 360^\circ,
\]
điều này cho thấy M, N, P, Q là các đỉnh của một tứ giác nội tiếp, và rằng chúng thuộc một đường tròn.

5. **Áp dụng tính chất hình học:**
- Bằng cách sử dụng tính chất của tam giác và góc trong đường tròn (góc nội tiếp bằng nửa góc chắn phía trước), ta khẳng định được rằng 4 điểm \( M, N, P, Q \) thuộc một đường tròn, từ đó hoàn tất chứng minh.

Vậy, ta đã chứng minh rằng 4 điểm \( M, N, P, Q \) thực sự nằm trên một đường tròn.