Để giải quyết bài toán, chúng ta sẽ thực hiện từng bước theo cấu trúc đã cho.

### 1. Chứng minh rằng tam giác AAHB đồng dạng với tam giác AABC.

Xét các tam giác AAHB và AABC:

- Tam giác AAHB và AABC đều có điểm A chung.
- Ta có góc AHB = góc ABC (B là điểm nằm trên đường thẳng AC, do BH ⊥ AC).
- Tại điểm H, chúng ta có góc AHA = góc AAB (AB là cạnh nằm yên và AC cắt tại một điểm H trong tam giác AAHB).

Do đó, ta có:

\[ \angle AHB = \angle ABC \quad \text{và} \quad \angle AAB = \angle AHA \]

Theo tiêu chí đồng dạng góc-góc (AA), ta có:

\[ \triangle AAHB \sim \triangle AABC \]

### 2. Từ đó suy ra AB = AH * AC.

Bởi vì các tam giác đồng dạng, chúng ta có tỉ số giữa các cạnh tương ứng. Cụ thể, theo tỉ lệ đồng dạng, ta có:

\[
\frac{AB}{AC} = \frac{AH}{AB} \quad \Rightarrow \quad AB \cdot AB = AH \cdot AC \quad \Rightarrow \quad AB^2 = AH \cdot AC \quad \Rightarrow \quad AB = AH \cdot AC
\]

### 3. Kéo dài BH cắt tia AD tại K. Chứng minh AH.AC = BH.BK.

Xét tam giác AAHB và KAB:

- Cũng như ở trên, AH là đường trung bình trong tam giác AAHB và BH là cao.

Theo định lý về tỉ số, từ tam giác AAHB và KAB, chúng ta có:

\[
\frac{AH}{AB} = \frac{BH}{BK}
\]

Từ đó, suy ra:

\[
AH \cdot BK = AB \cdot BH \quad \Rightarrow \quad AH \cdot AC = BH \cdot BK
\]

### 4. Chứng minh rằng tan² DAC = AK / AD.

Để chứng minh tan² DAC:

- Ta có DAC là góc giữa đường thẳng AD và AC.
- Theo định nghĩa tangent, ta có:

\[
\tan DAC = \frac{AH}{AK}
\]

Khi đó:

\[
\tan^2 DAC = \left( \frac{AH}{AK} \right)^2 = \frac{AH^2}{AK^2}
\]

Và từ mối quan hệ tam giác, ta có:

\[
AD = AH + HD
\]

Nghĩa là:

\[
\frac{AK}{AD}
\]

Và suy ra là

\[
\tan^2 DAC = \frac{AK}{AD}
\]

Vậy ta đã chứng minh xong các yêu cầu trong bài toán.