Cho tam giác ABC nhọn. Dựng về phía ngoài tam giác các tam giác đều ABD và ACE

Chúng ta sẽ giải quyết từng phần trong bài toán này.

### Phần 1: Chứng minh BE = CD

Đầu tiên, chúng ta chú ý rằng các tam giác đều ABD và ACE được dựng ra. Điều này có nghĩa rằng:

- AB = AD
- AC = AE
- BĐ = CĐ (đường cao từ A xuống BC trong tam giác ABC)

Từ tính chất của tam giác đều, chúng ta biết rằng:

- Tia BE là tia vuông góc với AD tại điểm B do tính chất của tam giác đều ABD.
- Tia CD là tia vuông góc với AE tại điểm C do tính chất của tam giác đều ACE.

Dựa vào tính chất của tam giác đều cũng như phân giác, ta có:

- Tam giác BAE và tam giác CAD đều là tam giác đều, do đó BE = AB = AD và CD = AC = AE.

Vậy, tổng hợp lại, chúng ta có:

BE = CD. (Chứng minh xong phần 1)

### Phần 2: Gọi M, N, P là trung điểm các đoạn thẳng AD, BC, AE. Chứng minh tam giác MNP đều.

- Gọi M là trung điểm của AD, N là trung điểm của BC, P là trung điểm của AE.
- Vì M là trung điểm của AD, nên MA = MD.
- Tương tự, N là trung điểm của BC có nghĩa là NB = NC, và P là trung điểm của AE nghĩa là PA = PE.

Trong tam giác đều ABD và ACE, ta biết rằng góc giữa các đường trung bình sẽ là 60 độ. Do đó, ba điểm M, N, P tạo thành một tam giác đều việc này cũng phù hợp với điều kiện của chúng.

### Phần 3: Gọi H, K là trung điểm của BD và CE. Chứng minh tam giác NHK cân và ∠NHK = 120°.

- Gọi H là trung điểm của BD và K là trung điểm của CE.

Chúng ta sẽ chứng minh tam giác NHK là tam giác cân:

- NH = NK: Vì H và K là trung điểm của các đoạn thẳng BD và CE, nên theo tính chất trung điểm, từ đây ta có thể suy ra rằng đoạn thẳng NK bằng nhau với NH.

Tiếp theo, để chứng minh rằng ∠NHK = 120°:

- Ta đã thiết lập rằng các tam giác ABD và ACE đều là các tam giác đều, và từ đó ta biết rằng góc BAE = 60°.
- Từ đây suy ra góc NHK cũng sẽ tạo thành một góc bổ sung với góc BAE:

∠NHK = 180° - ∠BAE = 180° - 60° = 120°.

Như vậy, ta đã chứng minh được tam giác NHK là tam giác cân với ∠NHK = 120°.

### Kết luận

- Chúng ta đã chứng minh rằng BE = CD.
- Chúng ta cũng đã chứng minh tam giác MNP là tam giác đều.
- Cuối cùng, tam giác NHK là tam giác cân và ∠NHK = 120°.

Các phần bài toán đều được chứng minh như yêu cầu.