Để giải bài toán này, chúng ta đặt tổng số hộp khẩu trang ban đầu là \( x \).

1. **Ngày thứ nhất:** Cửa hàng bán \(\frac{1}{2}x\) hộp, còn lại \( x - \frac{1}{2}x = \frac{1}{2}x \). Sau đó, thêm 5 hộp, tổng số còn lại là \(\frac{1}{2}x + 5\).

2. **Ngày thứ hai:** Cửa hàng bán \(\frac{1}{2}(\frac{1}{2}x + 5) = \frac{1}{4}x + \frac{5}{2}\) hộp, còn lại:
\[
\frac{1}{2}x + 5 - \left(\frac{1}{4}x + \frac{5}{2}\right) = \frac{1}{4}x + \frac{5}{2}
\]

Sau đó, thêm 5 hộp, tổng số còn lại là:
\[
\frac{1}{4}x + \frac{5}{2} + 5 = \frac{1}{4}x + \frac{15}{2}
\]

3. **Ngày thứ ba:** Cửa hàng bán 10 hộp, còn lại:
\[
\frac{1}{4}x + \frac{15}{2} - 10 = \frac{1}{4}x + \frac{15}{2} - \frac{20}{2} = \frac{1}{4}x - \frac{5}{2}
\]

Cửa hàng bán hết khẩu trang, tức là còn lại 0 hộp, dẫn đến:
\[
\frac{1}{4}x - \frac{5}{2} = 0
\]

4. **Giải phương trình:**
\[
\frac{1}{4}x = \frac{5}{2}
\]
Nhân cả hai vế với 4:
\[
x = 10
\]

Vậy, cửa hàng bán được tổng cộng **10 hộp khẩu trang**.