Để tính giá trị biểu thức \( A = \frac{1}{3} \sqrt{36} - \frac{1}{2} \sqrt{\sqrt{16} + \sqrt{5}}^2 \), ta thực hiện từng bước như sau:

1. Tính \( \sqrt{36} \):
\[
\sqrt{36} = 6
\]

2. Tính \( \sqrt{16} \):
\[
\sqrt{16} = 4
\]

3. Bây giờ tính biểu thức \( \sqrt{16} + \sqrt{5} \):
\[
\sqrt{16} + \sqrt{5} = 4 + \sqrt{5}
\]

4. Tính bình phương \( \sqrt{16} + \sqrt{5} \):
\[
(4 + \sqrt{5})^2 = 4^2 + 2 \times 4 \times \sqrt{5} + (\sqrt{5})^2 = 16 + 8\sqrt{5} + 5 = 21 + 8\sqrt{5}
\]

5. Giờ chúng ta tính \( A \):
\[
A = \frac{1}{3} \cdot 6 - \frac{1}{2} \cdot (21 + 8\sqrt{5})
\]

6. Tính \( \frac{1}{3} \cdot 6 \):
\[
\frac{1}{3} \cdot 6 = 2
\]

7. Tính \( \frac{1}{2} \cdot (21 + 8\sqrt{5}) \):
\[
\frac{1}{2} \cdot (21 + 8\sqrt{5}) = \frac{21}{2} + 4\sqrt{5}
\]

8. Thay vào công thức ở bước 5:
\[
A = 2 - \left( \frac{21}{2} + 4\sqrt{5} \right)
\]

9. Để trừ, ta cần biến đổi \( 2 \) thành phân số có mẫu số 2:
\[
2 = \frac{4}{2}
\]

10. Bây giờ ta thực hiện phép trừ:
\[
A = \frac{4}{2} - \left( \frac{21}{2} + 4\sqrt{5} \right) = \frac{4 - 21}{2} - 4\sqrt{5} = \frac{-17}{2} - 4\sqrt{5}
\]

Vậy giá trị biểu thức \( A \) là:
\[
A = -\frac{17}{2} - 4\sqrt{5}
\]