Để tìm giá trị nhỏ nhất (GTNN) của các biểu thức trong bài toán đã cho, ta sẽ phân tích từng biểu thức một.

### a) Tìm GTNN của biểu thức
\[ A = (x + 1)^2 + (y - 2)^2 + 2021 \]

- Biểu thức \((x + 1)^2\) và \((y - 2)^2\) đều là các bình phương, nên giá trị nhỏ nhất của mỗi phần là 0.
- Điều này xảy ra khi:
- \(x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1\)
- \(y - 2 = 0 \Rightarrow y = 2\)

- Khi đó, có:
\[
A = 0 + 0 + 2021 = 2021
\]

=> GTNN của biểu thức \( A \) là **2021**.

### b) Tìm GTLN của biểu thức
\[ A = - (2x + 5)^4 + 3 \]

- Biểu thức \(-(2x + 5)^4\) là một hàm bậc 4 với hệ số âm, vì vậy nó có giá trị lớn nhất khi \((2x + 5)^4\) đạt giá trị nhỏ nhất.
- Giá trị nhỏ nhất của \((2x + 5)^4\) là 0, xảy ra khi:
\[
2x + 5 = 0 \Rightarrow x = -\frac{5}{2}
\]

- Khi đó, có:
\[
A = -0 + 3 = 3
\]

=> GTLN của biểu thức \( A \) là **3**.

Tóm lại:
- a) GTNN: **2021**
- b) GTLN: **3**