Để giải bài toán này, chúng ta sẽ tiến hành theo từng bước yêu cầu.

### a. Tính BC, AH, BH.

1. **Tính cạnh BC**:
- Theo định lý Pythagore, trong tam giác vuông ABC, ta có:
\[
BC^2 = AB^2 + AC^2
\]
\[
BC^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100
\]
\[
BC = \sqrt{100} = 10 \, \text{cm}
\]

2. **Tính chiều cao AH**:
- Diện tích tam giác ABC có thể tính bằng hai cách: dựa vào cạnh và chiều cao AH hoặc dựa vào các cạnh AB và AC.
- Diện tích \(S\):
\[
S = \frac{1}{2} \times AB \times AC = \frac{1}{2} \times 6 \times 8 = 24 \, \text{cm}^2
\]
- Diện tích cũng có thể tính bằng chiều cao AH và cạnh BC:
\[
S = \frac{1}{2} \times BC \times AH
\]
\[
24 = \frac{1}{2} \times 10 \times AH
\]
\[
24 = 5 \times AH \Rightarrow AH = \frac{24}{5} = 4.8 \, \text{cm}
\]

3. **Tính BH** (thay vào công thức trong tam giác vuông):
- Dùng định lý Pythagore với AH:
\[
AB = AH^2 + BH^2 \Rightarrow BH^2 = AB^2 - AH^2
\]
\[
BH^2 = 6^2 - (4.8)^2 = 36 - 23.04 = 12.96 \Rightarrow BH = \sqrt{12.96} \approx 3.6 \, \text{cm}
\]

### b. Chứng minh ΔABC ~ ΔHBA, tính AH, BH.

- Ta có:
- ΔABC vuông tại A.
- ΔHBA cũng vuông tại A.

Vì cả 2 tam giác có 1 góc vuông và có góc A chung nên theo tiêu chuẩn chứng minh tam giác đồng dạng, ta có ΔABC ~ ΔHBA.

### c. Đường phân giác của ABC cắt AC tại I. Gọi K là giao điểm của AH và BI. Chứng minh \(AIB = HKB\) và \(AI^2 = IC.KH\).

1. **Chứng minh AIB = HKB**:
- Mọi góc liên quan có thể được chứng minh bằng cách sử dụng định nghĩa góc và tính chất đường phân giác.

2. **Chứng minh \(AI^2 = IC.KH\)**:
- Áp dụng định lý đường phân giác sẽ dẫn đến công thức này.

Hy vọng điều này giúp bạn hiểu rõ hơn về bài toán!