Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng một vài kiến thức về hình học.

### a) Tính độ dài AB

Ta có hai đường tròn:
- Đường tròn \( O \) bán kính \( R_1 = 5 \, cm \)
- Đường tròn \( O' \) bán kính \( R_2 = 2 \, cm \)
- Khoảng cách giữa hai tâm \( OO' = 9 \, cm \)

Để tính độ dài đoạn thẳng \( AB \) là tiếp tuyến chung ngoài cho hai đường tròn, ta sử dụng công thức tính độ dài tiếp tuyến chung ngoài:

\[
AB = \sqrt{d^2 - (R_1 + R_2)^2}
\]

Trong đó:
- \( d = OO' = 9 \, cm \)
- \( R_1 + R_2 = 5 + 2 = 7 \, cm \)

Thay giá trị vào công thức:

\[
AB = \sqrt{9^2 - 7^2} = \sqrt{81 - 49} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2} \, cm
\]

### b) Tính độ dài OI

Để tìm độ dài \( OI \), đầu tiên ta cần tính đoạn \( OI \) dựa trên tam giác vuông \( OIA \) (hoặc \( O'IB \)) trong đó \( I \) là giao điểm của \( AB \) và \( OO' \).

Trong tam giác \( OIA \), có:

\[
OA = R_1 = 5 \, cm
\]

Độ dài \( AI \) (từ điểm A đến giao điểm I) có thể được tính bằng thuyết Pytago trong tam giác vuông \( OIA \):

\[
OA^2 = OI^2 + AI^2
\]

Tương tự, trong tam giác \( O'I B \):

\[
O'B = R_2 = 2 \, cm
\]

\[
O'I^2 = O'B^2 + BI^2
\]

Tuy nhiên, do \( AB \) là tiếp tuyến, và sự sắp xếp giữa các điểm, chúng ta có

\[
OI + O'I = OO' = 9 \, cm
\]

Xét \( OI \) và \( O'I \):

- Gọi \( OI = x \), thì \( O'I = 9 - x \)

Áp dụng định lý Pytago cho đường tròn \( O \) và \( O' \):

\[
5^2 = x^2 + AI^2 \quad (1)
\]
\[
2^2 = (9 - x)^2 + BI^2 \quad (2)
\]

Chúng ta biết rằng \( AI = BI = \frac{AB}{2} = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2} \).

Thay giá trị \( AI \) và \( BI \) vào các phương trình:

Từ (1):
\[
25 = x^2 + (2\sqrt{2})^2
\]
\[
25 = x^2 + 8 \implies x^2 = 17 \implies x = \sqrt{17}
\]

Do đó:
\[
OI = \sqrt{17} \, cm
\]

### Kết luận
- a) Độ dài AB là \( 4\sqrt{2} \, cm \).
- b) Độ dài OI là \( \sqrt{17} \, cm \).