Để giải bài toán này, chúng ta cần phân tích bất phương trình sau:

\[
2021\left(\sqrt{3x^2 - 18x + 28}\right) - m\sqrt{3x^2 - 18x + 28} \geq m + 4042
\]

Trước tiên, ta thực hiện một số bước như sau:

1. **Tách biệt các thành phần**:
\[
(2021 - m)\sqrt{3x^2 - 18x + 28} \geq m + 4042
\]

2. **Đặt điều kiện cho bất phương trình**: Ta cần phân tích trường hợp \(\sqrt{3x^2 - 18x + 28} \geq 0\). Để điều này đúng, ta cần tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức dưới căn.

3. **Tính giá trị của biểu thức**:
Biểu thức \(3x^2 - 18x + 28\) là một phương trình bậc 2. Giải phương trình để tìm giá trị của nó qua việc xác định đỉnh của parabol:
\[
x_{đỉnh} = \frac{-b}{2a} = \frac{18}{2 \cdot 3} = 3
\]
Tính giá trị tại \(x = 3\):
\[
3(3^2) - 18(3) + 28 = 27 - 54 + 28 = 1
\]
Vậy, \(\sqrt{3x^2 - 18x + 28} \geq 1\) cho mọi \(x\).

4. **Giải bất phương trình**:
Thay giá trị \(y = \sqrt{3x^2 - 18x + 28}\) và thay vào bất phương trình ta có:
\[
(2021 - m)y \geq m + 4042
\]
Do \(y \geq 1\):
\[
2021 - m \geq m + 4042
\]

5. **Giải điều kiện trên**:
Sắp xếp lại bất phương trình:
\[
2021 - 4042 \geq 2m \Rightarrow -2021 \geq 2m \Rightarrow m \leq -1010.5
\]
Nhưng vì \(m\) là giá trị nguyên dương, ta có lời giải nực cười. Vậy cần xét lại trường hợp chia hai bên cho \(y\).

Nếu \(2021 - m \geq 0\):
\[
2021 \geq m \Rightarrow m \in [1, 2021]
\]

Dựa vào các điều kiện, có:

- Tham số \(m\) có thể nhận các giá trị nguyên dương từ 1 đến 2021.

**Kết luận**: \(m\) có tổng cộng \(2021 - 1 + 1 = 2021\) giá trị nguyên dương thỏa mãn điều kiện.

Do đó, số giá trị nguyên dương của tham số \(m\) là **2021**.