Tìm tất cả các số tự nhiên n để

Để giải bài toán này, ta cần tìm tất cả các số tự nhiên \( n \) sao cho biểu thức sau là một số tự nhiên:

\[
\frac{n^3 - 2n^2 + 3}{n - 2}
\]

Đầu tiên, ta thực hiện phép chia đa thức \( n^3 - 2n^2 + 3 \) cho \( n - 2 \) bằng cách sử dụng phép chia đa thức.

1. **Chia đa thức**:

Ta có:
- Chia \( n^3 \) cho \( n \) được \( n^2 \).
- Nhân \( n^2 \) với \( n - 2 \) ta được \( n^3 - 2n^2 \).
- Trừ nó đi khỏi \( n^3 - 2n^2 + 3 \) ta được:
\[
n^3 - 2n^2 + 3 - (n^3 - 2n^2) = 3
\]

Như vậy, ta có:
\[
\frac{n^3 - 2n^2 + 3}{n - 2} = n^2 + \frac{3}{n - 2}
\]

Để biểu thức này là một số tự nhiên, thì \( \frac{3}{n - 2} \) cũng phải là một số tự nhiên, nghĩa là \( n - 2 \) phải là một số dương và đồng thời là ước của 3.

2. **Tìm ước số của 3**:

Các ước số của 3 là 1 và 3. Do đó:
- Nếu \( n - 2 = 1 \) thì \( n = 3 \).
- Nếu \( n - 2 = 3 \) thì \( n = 5 \).

3. **Kiểm tra các giá trị**:

- Với \( n = 3 \):
\[
\frac{3^3 - 2 \cdot 3^2 + 3}{3 - 2} = \frac{27 - 18 + 3}{1} = 12 \quad (\text{số tự nhiên})
\]
- Với \( n = 5 \):
\[
\frac{5^3 - 2 \cdot 5^2 + 3}{5 - 2} = \frac{125 - 50 + 3}{3} = \frac{78}{3} = 26 \quad (\text{số tự nhiên})
\]

Vậy các số tự nhiên \( n \) thỏa mãn yêu cầu của bài toán là:

\[
\boxed{3 \text{ và } 5}
\]