Để giải hệ bất phương trình \(|x+5| \leq 4\) và \(|4-x| > 6\), chúng ta sẽ giải từng bất phương trình một.

### Bất phương trình thứ nhất: \(|x+5| \leq 4\)

Bất phương trình này có thể được viết lại thành hai bất phương trình:

\[
-4 \leq x + 5 \leq 4
\]

Giải từng phần:

1. Từ \(-4 \leq x + 5\), ta có:
\[
-4 - 5 \leq x \implies x \geq -9
\]

2. Từ \(x + 5 \leq 4\), ta có:
\[
x \leq 4 - 5 \implies x \leq -1
\]

Kết hợp lại, từ bất phương trình này ta được:
\[
-9 \leq x \leq -1
\]

### Bất phương trình thứ hai: \(|4-x| > 6\)

Bất phương trình này cũng có thể được viết lại thành hai bất phương trình:

\[
4 - x > 6 \quad \text{hoặc} \quad 4 - x < -6
\]

Giải từng phần:

1. Từ \(4 - x > 6\):
\[
-x > 2 \implies x < -2
\]

2. Từ \(4 - x < -6\):
\[
-x < -10 \implies x > 10
\]

Kết hợp lại, từ bất phương trình này ta có hai miền giá trị cho \(x\):
\[
x < -2 \quad \text{hoặc} \quad x > 10
\]

### Kết hợp các điều kiện

Bây giờ, ta sẽ kết hợp các điều kiện từ hai bất phương trình:

1. Từ bất phương trình thứ nhất: \(-9 \leq x \leq -1\)
2. Từ bất phương trình thứ hai: \(x < -2\) hoặc \(x > 10\)

Từ đây, ta chỉ cần xem xét phần thỏa mãn cả hai điều kiện:

- Miền \(x < -2\) và \(-9 \leq x \leq -1\) cho ta miền \(-9 \leq x < -2\).

Vì vậy, nghiệm của hệ bất phương trình là:
\[
x \in [-9, -2)
\]

Kết quả cuối cùng là:
\[
\boxed{[-9, -2)}
\]