Để chứng minh các yêu cầu trong bài toán về hình thoi \(ABCD\) với \(AB = BD\) và các điểm \(M\) và \(N\) trên các cạnh \(AB\) và \(BC\) sao cho \(AM = BN\), ta thực hiện theo các bước sau:

### A. Chứng minh \(\angle ADM = \angle BDM\)

1. **Chứng minh các tam giác có các cạnh tương ứng bằng nhau**:
- Ta có \(AB = BD\) (điều kiện của hình thoi).
- Vì \(AM = BN\) (điều kiện bài toán), ta đặt \(AM = BN = x\).
- Vậy \(MB = AB - AM = AB - x = BD - BN = DN\).

2. **Chú ý đến hình thoi**:
- Hình thoi có các góc đối bằng nhau, tức là \(\angle BAD = \angle BCD\) và \(\angle ABD = \angle ACD\).
- Hơn nữa, trong hình thoi thì các đường chéo cắt nhau vuông góc và chia nhau ra các đoạn bằng nhau.

3. **Sử dụng tam giác**:
- Ta có hai tam giác \(AMD\) và \(BMD\):
- \(AD = BD\) (cạnh đối của hình thoi).
- \(AM = BN\)
- \(MD\) là chung trong hai tam giác.
- Do đó, theo định lý cạnh – góc – cạnh (c.g.c), ta có:
\[
\angle ADM = \angle BDM
\]

### B. Chứng minh tam giác \(MDN\) là tam giác đều

1. **Xét các đoạn thẳng**:
- Ta đã có \(AM = BN\) (giả thiết).
- Hơn nữa, từ tam giác \(AMD\) và \(BMD\), ta có:
- \(\angle ADM = \angle BDM\)
- \(AD = BD\).

2. **Tính chất của hình thoi**:
- Trong hình thoi, các cạnh đối bằng nhau có nghĩa là do đối xứng, cả đường chéo cũng chia nhau tại điểm giữa của mỗi đoạn.
- Vậy nếu \(M\) và \(N\) được xác lập sao cho chúng là các điểm trên các cạnh và \(AM = BN\), ta thấy rằng các đoạn thẳng \(MD\) và \(DN\) phải bằng nhau do cấu trúc đối xứng.

3. **Kiểm tra độ dài**:
- \(AM = BN\) suy ra \(MD = DN\).
- Thêm vào đó, từ A và B đến D, dựa trên \(ABCD\) có độ dài cạnh bằng nhau, suy ra \(AD\) và \(BD\) cũng bằng nhau.

4. **Kết luận tam giác đều**:
- Từ ba điều kiện \(MD = DN\), \(\angle AMD = \angle BMD\) và \(AD = BD\) ta dễ dàng thấy rằng \(MDN\) là tam giác đều:
\[
MD = DN = MN
\]

### Tổng kết
Chúng ta đã chứng minh được:
- \(\angle ADM = \angle BDM\).
- Tam giác \(MDN\) là tam giác đều.
Cảm ơn bạn đã đặt câu hỏi, hy vọng câu trả lời này giúp ích cho bạn!