Cho tam giác ACB. Gọi M là trung điểm AC,D là điểm trên tia đối của tia MB sao cho MD=MB. Chứng minh ABCD là hình bình hành

### Bài 1: Chứng minh ABCD là hình bình hành

Cho tam giác ACB, gọi M là trung điểm của AC. Chúng ta sẽ chỉ ra rằng tứ giác ABCD là hình bình hành.

1. Gọi D là điểm trên tia đối của tia MB sao cho \( MD = MB \).
2. Do M là trung điểm của AC nên \( AM = MC \).
3. Vẽ đoạn thẳng MB và D nằm trên tia đối với nó, với \( MD = MB \) tức là D nằm cách M một đoạn bằng đoạn MB.
4. Ta có \( MB = MD \) và do đó \( \overrightarrow{MD} = -\overrightarrow{MB} \), nghĩa là \( D \) là phản ảnh của \( B \) qua trung điểm \( M \).
5. Do đó, \( AC \parallel BD \) và \( AB \parallel CD \) (vì C nằm trên AC và D nằm trên BD).
6. Ngoài ra, ta có \( AB = CD \) (bởi vì M trung điểm và D phản ánh B qua M).
7. Tứ giác ABCD thỏa mãn hai cặp cạnh đối song song và bằng nhau, do đó, ABCD là hình bình hành.

### Bài 2: Chứng minh MNBC là hình bình hành

Cho tam giác ABC, lấy M trên tia đối của tia AB sao cho \( MA = MB \), và lấy điểm N trên tia đối của tia AC sao cho \( NA = NC \).

1. Từ định nghĩa, điểm M nằm trên tia đối của AB, do đó \( MA = MB \) cho thấy M là điểm phản xạ của A qua B.
2. Tương tự, điểm N nằm trên tia đối của AC và \( NA = NC \) cho thấy N là điểm phản xạ của A qua C.
3. Ta có:
- Từ tính chất phản xạ, điểm M và điểm N đối xứng qua AB.
- Tương tự, điểm M và điểm N đối xứng qua AC.
4. Gọi các điểm B và C tương ứng. Do B và C đều được tạo ra từ các cạnh của tam giác ABC, nên:
- \( MN \parallel BC \)
- \( MB = CN \) và \( NC = MB \) (do phản xạ)}
5. Tứ giác MNBC có hai cặp cạnh đối song song và bằng nhau, do đó, MNBC là hình bình hành.

### Bài 3: Chứng minh ABCD là hình bình hành

Cho hình thang ABCD với AB // CD và góc A = góc C.

1. Theo giả thiết, ta có: \( AB || CD \).
2. Gọi E là điểm giao điểm của đường thẳng AD với đường thẳng BC.
3. Vì góc A bằng góc C nên \( \angle DAB = \angle BCD \) (bởi vì các góc trong một hình thang đồng dạng và cùng phần).
4. Điều này cho thấy rằng tứ giác ABCD có các cặp góc đối bằng nhau.
5. Hơn nữa, từ свойства cắt của hai đường thẳng song song, ta có \( AD \parallel BC \) suy ra các cạnh đối song song.
6. Vì AB // CD và AD // BC, nên tứ giác ABCD thỏa mãn cả hai điều kiện để trở thành một hình bình hành.

### Hình minh họa

Để hỗ trợ cho bạn trong việc tạo dựng hình ảnh, bạn có thể vẽ các hình như sau:

1. **Hình 1**: Vẽ tam giác ACB với trung điểm M của AC, rồi vẽ điểm D trên tia đối của MB sao cho \( D \) ứng với điều kiện đã nêu.
2. **Hình 2**: Vẽ tam giác ABC, vẽ M trên tia đối AB và N trên tia đối AC như đã nêu.
3. **Hình 3**: Vẽ hình thang ABCD với AB // CD và góc A = góc C.

Hy vọng rằng các bước chứng minh sẽ giúp bạn dễ dàng hơn trong quá trình tự giải bài toán.