Để giải bài toán, chúng ta sẽ lần lượt thực hiện các bước để chứng minh rằng \( MN = DC \) và tìm vị trí của điểm D để \( CD \) có độ dài nhỏ nhất.

### a) Chứng minh \( MN = DC \)

1. **Gọi các điểm**: Gọi \( M \) là giao điểm của đường thẳng \( DM \) và \( AC \), còn \( N \) là giao điểm của \( DN \) và \( BC \).
2. **Xét các tam giác**:
- Tam giác vuông \( CAD \) tại \( D \) với đường cao \( DN \) vuông góc với cạnh \( AC \), và tam giác vuông \( CDB \) tại \( D \) với đường cao \( DM \) vuông góc với cạnh \( BC \).
- Từ nhận xét ở trên, ta có \( DN \perp AC \) và \( DM \perp BC \).
3. **Cách thức xác định độ dài**:
- Theo định lý Pythagore, chúng ta sẽ có:

\[
CN^2 + AN^2 = AC^2
\]
\[
CM^2 + AM^2 = BC^2
\]

Nhưng cần lưu ý rằng \( MN \) và \( DC \) đều là các đoạn thẳng vuông góc.

4. **Sử dụng Định lý về chiều cao**:
- Trong tam giác vuông, độ dài của các đoạn cao từ đỉnh đến cạnh huyền đều tương đương với các đoạn thẳng đo tại các điểm giao.
- Do đó, suy ra:

\[
MN = DC
\]

### b) Điều kiện để \( CD \) có độ dài nhỏ nhất

Để \( CD \) đạt độ dài nhỏ nhất, chúng ta cần xem xét hình học của tam giác vuông \( ABC \).

1. **Xét khoảng cách từ điểm C đến đường AB**:
- Đoạn thẳng \( CD \) đang phụ thuộc vào vị trí của điểm D. Khi D di chuyển dọc theo AB, độ dài \( CD \) cũng sẽ thay đổi.
- Theo hình học, độ dài \( CD \) sẽ nhỏ nhất khi \( D \) nằm trên đường thẳng vuông góc với \( AC \) và \( BC \).

2. **Ghi chú về trường hợp đặc biệt**:
- Khi điểm D nằm giữa AC và BC, và vuông góc với nó, trên đoạn AB, điểm M và N sẽ đồng nhất tại C, và từ đó, độ dài sẽ đạt giá trị nhỏ nhất.

Vậy, điểm D cần nằm trong trung điểm của cạnh AB để đạt được độ dài nhỏ nhất với mặt phẳng.

Hy vọng những gợi ý trên sẽ giúp bạn giải quyết bài toán!