Chúng ta sẽ rút gọn từng biểu thức một:

### a) \( \sqrt{(a-1)^2} \) với \( a \geq 1 \)

Vì \( a \geq 1 \), biểu thức sẽ là:

\[ \sqrt{(a-1)^2} = a - 1 \]

### b) \( \sqrt{(2-a)^2 + a} \) với \( a < 2 \)

Với \( a < 2 \), ta có \( 2 - a \geq 0 \), vì vậy:

\[ \sqrt{(2-a)^2 + a} = \sqrt{(2-a)^2 + a} \]

Bây giờ, ta cần khai triển biểu thức bên trong:

\[
(2-a)^2 = 4 - 4a + a^2
\]
Vậy:

\[
(2-a)^2 + a = 4 - 4a + a^2 + a = a^2 - 3a + 4
\]

Tuy nhiên không thể rút gọn thêm ra ngoài dạng tích, nên kết quả là:

\[ \sqrt{(2-a)^2 + a} = \sqrt{a^2 - 3a + 4} \]

### c) \( \sqrt{a^2 + 2a + 1} \) với \( a \geq -1 \)

Biểu thức bên trong là:

\[ a^2 + 2a + 1 = (a+1)^2 \]

Vì vậy:

\[ \sqrt{a^2 + 2a + 1} = \sqrt{(a+1)^2} = a + 1 \]

### d) \( \sqrt{9a^2 - 6a + 1 + 3a} \) với \( a < \frac{1}{3} \)

Ta có:

\[ 9a^2 - 6a + 1 + 3a = 9a^2 - 3a + 1 \]

Biểu thức này có thể viết lại bằng cách hoàn thành bình phương:

\[
9a^2 - 3a + 1 = 9\left(a^2 - \frac{1}{3}a\right) + 1
\]

Ta hoàn thành bình phương cho phần bên trong:

\[
= 9\left(a - \frac{1}{6}\right)^2 + 1 - \frac{1}{4} = 9\left(a - \frac{1}{6}\right)^2 + \frac{3}{4}
\]

Như vậy:

\[ \sqrt{9a^2 - 3a + 1} \text{ không rút gọn hơn được } \]

### Tổng kết:

- \( a) \: a - 1 \)
- \( b) \: \sqrt{(2-a)^2 + a} \)
- \( c) \: a + 1 \)
- \( d) \: \sqrt{9a^2 - 3a + 1} \)

Nếu cần thêm thông tin hay giải thích cụ thể về từng bước, hãy cho tôi biết!