Để rút gọn các biểu thức đã cho, ta thực hiện từng bài toán một như sau:

### a)
\[
\sqrt{(a-4)^2} \quad \text{với} \ a \geq 4
\]
Vì \( a \geq 4 \), ta có:
\[
\sqrt{(a-4)^2} = a - 4
\]

### b)
\[
\sqrt{(5-a)^2 + 4a} \quad \text{với} \ a < 5
\]
Ta có thể viết lại biểu thức:
\[
\sqrt{(5-a)^2 + 4a} = \sqrt{(25 - 10a + a^2) + 4a} = \sqrt{a^2 - 6a + 25}
\]
Phân tích biểu thức bên trong:
\[
\sqrt{(a-3)^2 + 16} \text{ không rút gọn thêm được.}
\]

### c)
\[
\sqrt{a^2 + 6a + 9} \quad \text{với} \ a \geq -3
\]
Ta có:
\[
\sqrt{(a+3)^2} = a + 3 \quad \text{vì} \ a \geq -3.
\]

### d)
\[
\sqrt{4a^2 - 4a + 1 + 2a} \quad \text{với} \ a < \frac{1}{2}
\]
Ta có thể viết lại biểu thức:
\[
4a^2 - 4a + 1 + 2a = 4a^2 - 2a + 1 = (2a - 1)^2
\]
Vì vậy:
\[
\sqrt{(2a-1)^2} = 1 - 2a \quad \text{vì} \ a < \frac{1}{2}.
\]

### Kết quả cuối cùng:
- a) \( a - 4 \)
- b) \( \sqrt{(a-3)^2 + 16} \)
- c) \( a + 3 \)
- d) \( 1 - 2a \)