Để giải hệ phương trình bậc 2:

\[
\begin{cases}
x^2 - y^2 = 0 \\
x + 2y = 1
\end{cases}
\]

Ta bắt đầu từ phương trình đầu tiên:

1. \( x^2 - y^2 = 0 \) có thể viết lại dưới dạng:
\[
(x - y)(x + y) = 0
\]
Điều này có nghĩa là \( x - y = 0 \) hoặc \( x + y = 0 \).

### Trường hợp 1: \( x - y = 0 \)

Từ \( x - y = 0 \), ta có:
\[
x = y
\]
Thay vào phương trình thứ hai \( x + 2y = 1 \):
\[
x + 2x = 1 \implies 3x = 1 \implies x = \frac{1}{3}
\]
Vì \( x = y \), ta có:
\[
y = \frac{1}{3}
\]

### Trường hợp 2: \( x + y = 0 \)

Từ \( x + y = 0 \), ta có:
\[
y = -x
\]
Thay vào phương trình thứ hai \( x + 2y = 1 \):
\[
x + 2(-x) = 1 \implies x - 2x = 1 \implies -x = 1 \implies x = -1
\]
Vì \( y = -x \), ta có:
\[
y = 1
\]

### Kết quả

Vậy hệ phương trình có hai nghiệm:
1. \( (x, y) = \left( \frac{1}{3}, \frac{1}{3} \right) \)
2. \( (x, y) = (-1, 1) \)

Tóm lại, nghiệm của hệ phương trình là:
\[
\left( \frac{1}{3}, \frac{1}{3} \right) \quad \text{và} \quad (-1, 1)
\]