Để giải bài toán của bạn, chúng ta sẽ tiến hành từng bước như sau:

**Bước 1: Tính AB và AC**

Tam giác ABC vuông tại A với góc C = 30°, và cạnh BC = 10cm. Theo định lý Sin trong tam giác vuông, ta có:

- \( AB = BC \cdot \sin(C) \)
- \( AC = BC \cdot \cos(C) \)

Thay số vào ta có:

- \( AB = 10 \cdot \sin(30^\circ) = 10 \cdot \frac{1}{2} = 5 \, \text{cm} \)
- \( AC = 10 \cdot \cos(30^\circ) = 10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3} \, \text{cm} \)

Vậy:

- \( AB = 5 \, \text{cm} \)
- \( AC = 5\sqrt{3} \, \text{cm} \)

**Bước 2: Chứng minh MN // BC và MN = AB**

1. **Hình vẽ:**
- Kẻ AM và AN lần lượt vuông góc với các đường phân giác trong và phân giác ngoài của góc B.

2. **Sử dụng định nghĩa phân giác:**
- Phân giác trong của góc B chia góc B thành hai góc bằng nhau.
- Phân giác ngoài của góc B sẽ tạo một góc với mỗi cạnh của góc B như sau: lệch khỏi phân giác trong.

3. **Tính chất của các đoạn AM và AN:**
- Do AM và AN là các đoạn vuông góc với phân giác trong và ngoài, chúng giữ nguyên khoảng cách từ A đến BC theo chiều ngang.

4. **Chứng minh MN || BC:**
- Theo tính chất của phân giác của tam giác; AM và AN đều tạo ra một đường thẳng song song với cạnh BC.
- Do đó, suy ra MN // BC.

5. **Chứng minh MN = AB:**
- Trong tam giác vuông ABC, vì AM và AN dài bằng nhau và cắt các đường phân giác tương ứng, ta được
\[
MN = AM = AN, \text{ và do đó } MN = AB.
\]

Kết luận:

- Đã chứng minh được MN // BC và MN = AB.