Cho tam giác ABC. Trên cạnh AB lấy điểm D (D ≠ A, B). Qua điểm D vẽ đường thẳng song song với đường thẳng BE

Để giải bài toán trên, ta sẽ thực hiện theo các bước như sau:

### a) Tính độ dài đoạn thẳng \( AE \)

1. **Biết rằng**:
- \( BD = 2AD \)
- \( AC = 4,5 \, \text{cm} \)

2. **Gọi**:
- \( AD = x \)
- Do đó, \( BD = 2x \).

3. **Tính độ dài \( AB \)**:
- \( AB = AD + BD = x + 2x = 3x \).

4. **Áp dụng định lý Thales** với tam giác \( ABE \) và đường thẳng song song \( DE \):
- Vì \( DE \parallel BC \) nên:
\[
\frac{AE}{AC} = \frac{AD}{AB} = \frac{x}{3x} = \frac{1}{3}
\]

5. **Tính \( AE \)**:
\[
AE = \frac{1}{3} \times AC = \frac{1}{3} \times 4,5 = 1,5 \, \text{cm}
\]

### b) Chứng minh tứ giác \( DEFB \) là hình bình hành

1. **Do**:
- \( DE \parallel BC \) và \( DF \parallel AB \) (vì \( E \) là điểm gần với \( C \) sao cho \( DE \parallel BC \)).

2. **Sử dụng định lý Thales** cho các đường thẳng song song:
- Dẫn đến \( DE \) cắt \( AC \) tạo thành một tỉ lệ thuận với \( AB \), do đó:
\[
\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC}
\]
Vậy từ đó cũng có thể thấy chiều dài các đoạn thẳng.

3. **Tính chất hình bình hành**:
- Trong tứ giác \( DEFB \), vì \( DE \parallel BC \) và \( DF \parallel AB \), cho thấy rằng cặp cạnh đối diện là song song với nhau.
- Hơn nữa, \( DE = FB \) (do đoạn thẳng song song và cùng dài) và \( DF = EB \) (cũng cùng lý do).

Do đó, tứ giác \( DEFB \) đáp ứng đầy đủ các điều kiện của hình bình hành.

### Kết luận
- Độ dài đoạn thẳng \( AE \) là \( 1,5 \, \text{cm} \).
- Tứ giác \( DEFB \) là hình bình hành.