Tìm số dư trong những phép chia sau

Để tìm số dư của biểu thức \((1^6 + 2^6 + 3^6 + \ldots + 2022^6)^{(1^6 + 2^6 + 3^6 + \ldots + 2022^6)}\) khi chia cho 6, ta thực hiện theo các bước sau:

### Bước 1: Tính \(1^6 + 2^6 + 3^6 + \ldots + 2022^6\)

Trước hết, lưu ý rằng \(n^6\) với \(n \in \mathbb{Z}\) có thể được chia thành 3 loại theo phép chia cho 6:

- Nếu \(n \equiv 0 \mod 6\) thì \(n^6 \equiv 0 \mod 6\).
- Nếu \(n \equiv 1 \mod 6\) thì \(n^6 \equiv 1 \mod 6\).
- Nếu \(n \equiv 2 \mod 6\) thì \(n^6 \equiv 2^6 = 64 \equiv 4 \mod 6\).
- Nếu \(n \equiv 3 \mod 6\) thì \(n^6 \equiv 3^6 = 729 \equiv 3 \mod 6\).
- Nếu \(n \equiv 4 \mod 6\) thì \(n^6 \equiv 4^6 = 4096 \equiv 4 \mod 6\).
- Nếu \(n \equiv 5 \mod 6\) thì \(n^6 \equiv 5^6 = 15625 \equiv 1 \mod 6\).

Từ đó, ta có bảng tóm tắt như sau:

- \(n \equiv 0 \mod 6 \Rightarrow n^6 \equiv 0\)
- \(n \equiv 1 \mod 6 \Rightarrow n^6 \equiv 1\)
- \(n \equiv 2 \mod 6 \Rightarrow n^6 \equiv 4\)
- \(n \equiv 3 \mod 6 \Rightarrow n^6 \equiv 3\)
- \(n \equiv 4 \mod 6 \Rightarrow n^6 \equiv 4\)
- \(n \equiv 5 \mod 6 \Rightarrow n^6 \equiv 1\)

### Bước 2: Tính tổng hợp các số dư

Trong khoảng từ 1 đến 2022, xét số lượng của mỗi loại:

- Số dư 0: \(337\) số (6, 12, 18, ..., 2022)
- Số dư 1: \(337\) số (1, 7, 13, ..., 2017)
- Số dư 2: \(337\) số (2, 8, 14, ..., 2018)
- Số dư 3: \(337\) số (3, 9, 15, ..., 2019)
- Số dư 4: \(337\) số (4, 10, 16, ..., 2020)
- Số dư 5: \(337\) số (5, 11, 17, ..., 2021)

### Tính tổng các số dư

Số dư đóng góp cho \(k\):

- Đối với dư 0: \(337 \times 0 = 0\)
- Đối với dư 1: \(337 \times 1 = 337\)
- Đối với dư 2: \(337 \times 4 = 1348\)
- Đối với dư 3: \(337 \times 3 = 1011\)
- Đối với dư 4: \(337 \times 4 = 1348\)
- Đối với dư 5: \(337 \times 1 = 337\)

Do đó, tổng các số dư là:

\[ 0 + 337 + 1348 + 1011 + 1348 + 337 = 3381 \]

### Bước 3: Tính \(3381 \mod 6\)

Giờ đây, ta cần tính \(3381\) khi chia cho \(6\):

\[ 3381 \div 6 = 563 \text{ dư } 3 \]

Vậy \(3381 \equiv 3 \mod 6\).

### Bước 4: Tính biểu thức

Ta đã có:
\[
S = 1^6 + 2^6 + 3^6 + \ldots + 2022^6 \equiv 3 \mod 6
\]
Do vậy, biểu thức:
\[
S^S \equiv 3^3 \mod 6
\]

### Tính \(3^3 \mod 6\)

\(3^3 = 27\), và \(27 \div 6 = 4\) dư \(3\).

### Kết luận

Số dư của \((1^6 + 2^6 + 3^6 + \ldots + 2022^6)^{(1^6 + 2^6 + 3^6 + \ldots + 2022^6)}\) khi chia cho 6 là:

\[
\boxed{3}
\]