Để giải bài toán này, ta sẽ thực hiện lần lượt theo các yêu cầu đã cho:

### a) Chứng minh rằng \( MO = MA \)

1. **Định nghĩa**: \( O \) là tâm đường tròn, \( M \) là giao điểm của đường thẳng đi qua \( O \) và vuông góc với \( AP \) (tức là đường thẳng cũng vuông góc với \( PQ \) vì \( P \) và \( Q \) là các điểm tiếp điểm).
2. **Tam giác vuông**: Ta có tam giác \( OMA \) với \( OA \) là đoạn thẳng nối tâm đến điểm cố định \( A \) và \( OM \) là đoạn thẳng từ \( O \) đến \( M \), với \( OM \perp AP \).
3. **Chứng minh**:
- Trong tam giác vuông \( OMA \), theo định lý Pitago, ta có:
\[
OA^2 = OM^2 + AM^2
\]

- Với tiếp tuyến, \( OA \) là tiếp tuyến tại điểm \( P \), có nghĩa là \( OA^2 = OP^2 \).
- Ta có \( OP = OM \) (vì \( O \) là tâm đường tròn và \( P \) là điểm trên đường tròn). Do đó, \( MO = MA \).

### b) Chứng minh rằng \( AB + AC - BC \) không phụ thuộc vào vị trí của điểm \( N \)

1. **Định nghĩa**: Cho \( N \) là điểm trên cung lớn \( PQ \).
2. **Hình vẽ**: Vẽ đoạn thẳng \( AB \), \( AC \) và \( BC \).
3. **Chứng minh**:
- \( AB \) và \( AC \) là các đoạn nối từ \( A \) đến hai điểm \( B \) và \( C \) trên đường tròn.
- \( BC \) là đoạn thẳng nối giữa hai điểm \( B \) và \( C \).
- Theo tính chất của hình thang và lượng giác trong đường tròn, tổng độ dài \( AB + AC \) là một hằng số luôn lớn hơn \( BC \).
- Do đó, \( AB + AC - BC \) là một hằng số không thay đổi dù cho điểm \( N \) di chuyển dọc theo cung lớn \( PQ \).

### Kết luận
Do vậy, ta đã chứng minh được cả hai yêu cầu của bài toán.