Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng định luật Boyle-Mariotte và định luật Charles. Cụ thể, chúng ta sẽ sử dụng công thức khí lý tưởng để tính toán.

Định luật khí lý tưởng được mô tả bởi phương trình:

\[
PV = nRT
\]

Trong đó:
- \( P \) là áp suất (Pa)
- \( V \) là thể tích (m³)
- \( n \) là số mol khí
- \( R \) là hằng số khí (8.314 J/(mol·K))
- \( T \) là nhiệt độ (K)

Vì khí trong bóng bay ban đầu và khí trong không khí đều là cùng loại khí, ta có thể sử dụng tỷ lệ áp suất, thể tích và nhiệt độ giữa hai trạng thái để có thể tìm ra bán kính lúc bơm khí.

Khi bơm khí vào bóng bay, có hai trạng thái:
1. Trạng thái bơm khí (áp suất 1 atm, nhiệt độ 300 K)
2. Trạng thái ở tầng khí quyển (áp suất 0,03 atm, nhiệt độ 200 K)

Trước tiên, chúng ta sẽ chuyển các áp suất sang Pascals:
- \( P_1 = 1\, \text{atm} = 101325\, \text{Pa} \)
- \( P_2 = 0,03\, \text{atm} = 0,03 \times 101325\, \text{Pa} = 3039,75\, \text{Pa} \)

Lúc bơm vào bóng, thể tích \( V_1 \) liên quan đến áp suất và nhiệt độ là:

\[
V_1 = \frac{nRT_1}{P_1}
\]

Lúc ở trạng thái tầng khí quyển, thể tích \( V_2 \) sẽ là:

\[
V_2 = \frac{nRT_2}{P_2}
\]

Dễ thấy rằng:

\[
\frac{V_1}{V_2} = \frac{T_1 \cdot P_2}{T_2 \cdot P_1}
\]

Thay các giá trị vào:

- \( T_1 = 300 \, K \)
- \( T_2 = 200 \, K \)
- \( P_1 = 101325 \, Pa \)
- \( P_2 = 3039,75 \, Pa \)

Tính tỉ lệ:

\[
\frac{V_1}{V_2} = \frac{300 \cdot 3039,75}{200 \cdot 101325}
\]
\[
= \frac{911925}{2026500}
\]
\[
\approx 0,449
\]

Bây giờ, vì thể tích của một hình cầu được tính bằng công thức:

\[
V = \frac{4}{3}\pi r^3
\]

Do đó, tỷ lệ thể tích cũng cho ta được tỷ lệ về bán kính:

\[
\frac{V_1}{V_2} = \frac{r_1^3}{r_2^3}
\]

Với \( r_2 = 10\,m = 1000\,cm \):

\[
\frac{r_1^3}{1000^3} = 0,449
\]

Từ đó:

\[
r_1^3 = 0,449 \times 1000^3
\]

Tính ra:

\[
r_1^3 \approx 449000000\,cm^3
\]

Lấy căn bậc ba của hai phía:

\[
r_1 \approx \sqrt[3]{449000000} \approx 754,09\,cm
\]

Cuối cùng, chúng ta có bán kính khi bơm khí vào bóng bay là:

\[
\boxed{754,09}
\]