Để giải phương trình \( (x - 3)^2 \) chia hết cho 16 với điều kiện \( 8 < x < 12 \), ta thực hiện các bước sau:

### Bước 1: Xác định điều kiện chia hết
Ta cần có:
\[
(x - 3)^2 \equiv 0 \mod 16
\]
Điều này có nghĩa là \( (x - 3)^2 \) phải bằng 0, 16, 32, ... Để đơn giản hóa, ta chỉ cần xem xét trường hợp đầu tiên, vì chỉ số 16 là đủ cho một giá trị nhỏ của \( x \).

### Bước 2: Tìm giá trị \( x - 3 \)
Ta đặt \( y = x - 3 \), vậy ta có:
\[
y^2 \equiv 0 \mod 16
\]
Điều này có nghĩa là \( y \) có thể nhận giá trị là số nguyên nào đó mà bình phương của nó chia hết cho 16. Các giá trị \( y \) có thể là:
\[
y = 0, 4, 8, 12, ...
\]

### Bước 3: Tính giá trị của \( x \)
Biến đổi trái ngược:
- \( y = 0 \) → \( x = 3 \) (không thỏa mãn điều kiện)
- \( y = 4 \) → \( x = 4 + 3 = 7 \) (không thỏa mãn điều kiện)
- \( y = 8 \) → \( x = 8 + 3 = 11 \) (thỏa mãn điều kiện)

### Bước 4: Kiểm tra
Kiểm tra giá trị \( x = 11 \):
\[
(x - 3)^2 = (11 - 3)^2 = 8^2 = 64
\]
64 chia hết cho 16.

### Kết luận
Giá trị \( x \) thỏa mãn điều kiện là:
\[
\boxed{11}
\]