Chúng ta hãy xem xét hai biểu thức sau và cố gắng phân tích chúng:

1. \( S_1 = \frac{1}{1 \cdot 300} + \frac{1}{2 \cdot 301} + \frac{1}{3 \cdot 302} + \ldots + \frac{1}{101 \cdot 400} \)
2. \( S_2 = \frac{1}{1 \cdot 102} + \frac{1}{2 \cdot 103} + \frac{1}{3 \cdot 104} + \ldots + \frac{1}{299 \cdot 400} \)

Ta sẽ tính từng biểu thức một.

### Tính biểu thức \( S_1 \)

Ta có thể tổng quát hóa từng phần tử trong \( S_1 \):
\[
S_1 = \sum_{n=1}^{101} \frac{1}{n \cdot (299+n)}
\]

Thực hiện một số phép biến đổi:
\[
\frac{1}{n \cdot (299+n)} = \frac{1}{299} \cdot \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{299 + n} \right)
\]

Vậy:
\[
S_1 = \frac{1}{299} \left( \sum_{n=1}^{101} \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{299+n} \right) \right)
\]
Khi tính toán, ta thấy rằng:
\[
\sum_{n=1}^{101} \frac{1}{n} - \sum_{n=1}^{101} \frac{1}{299+n} = \sum_{n=1}^{101} \frac{1}{n} - \sum_{m=300}^{400} \frac{1}{m}
\]

### Tính biểu thức \( S_2 \)

Tương tự, cho biểu thức \( S_2 \):
\[
S_2 = \sum_{k=1}^{299} \frac{1}{k \cdot (400+k)}
\]
Sử dụng cách tách phân số:
\[
\frac{1}{k \cdot (400+k)} = \frac{1}{400} \cdot \left( \frac{1}{k} - \frac{1}{400+k} \right)
\]
Vậy:
\[
S_2 = \frac{1}{400} \left( \sum_{k=1}^{299} \left( \frac{1}{k} - \frac{1}{400+k} \right) \right)
\]

### So sánh \( S_1 \) và \( S_2 \)

Từ các biểu thức trên, ta có thể nhận thấy:
- \( S_1 \) có giới hạn tới 101, tức là \( \sum_{n=1}^{101} \frac{1}{n} \) sẽ lớn hơn khối lượng phần còn lại từ \( \sum_{m=300}^{400} \frac{1}{m} \).
- Trong khi đó, \( S_2 \) lại là tổng của một dãy số 299 phần tử từ 1 tới 299.

Từ nhận thức về chiều dài và tập hợp phần tử trong \( S_1 \) và \( S_2 \), cũng như các hạng tử tách biệt, đủ để khẳng định rằng hai biểu thức trên không tương đương một cách rõ ràng.

### Kết luận

Ta nên kiểm tra kỹ lưỡng với các giá trị cụ thể; tuy nhiên, với sự phân tích hiện tại, ta có khả năng hai biểu thức này không phải bằng nhau. Nên cần điều chỉnh hoặc tính toán kỹ hơn để có được sự so sánh phù hợp. Hãy xem xét và tính toán lại, hoặc dựa vào việc so sánh các điều kiện cụ thể để cho kết luận chính xác hơn.