Để chứng minh biểu thức \( (x-2)(x-4) + 3 \) luôn dương với mọi \( x \), ta thực hiện như sau:

1. **Biểu thức**: \( (x-2)(x-4) + 3 = x^2 - 6x + 8 + 3 = x^2 - 6x + 11 \).

2. **Tính biệt thức**: Ta xét biểu thức bậc 2 \( x^2 - 6x + 11 \).
- Để xác định dấu của biểu thức này, ta tính biệt thức \( \Delta \):
\[
\Delta = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 11 = 36 - 44 = -8.
\]
- Vì \( \Delta < 0 \), nên phương trình bậc 2 này không có nghiệm, tức là biểu thức luôn nhận giá trị dương.

3. **Tính giá trị tối thiểu**: Vì hệ số của \( x^2 \) là dương (1), nên đồ thị của hàm số \( x^2 - 6x + 11 \) là một parabola mở lên. Do đó, hàm số này có giá trị tối thiểu tại đỉnh:
- Tọa độ đỉnh của parabola:
\[
x = -\frac{b}{2a} = -\frac{-6}{2 \cdot 1} = 3.
\]
- Tính giá trị của hàm tại \( x = 3 \):
\[
f(3) = 3^2 - 6 \cdot 3 + 11 = 9 - 18 + 11 = 2.
\]
- Giá trị tối thiểu của biểu thức \( x^2 - 6x + 11 \) là 2, và nó là dương.

4. **Kết luận**: Tổng hợp các dữ liệu trên, ta có thể kết luận rằng \( (x-2)(x-4) + 3 \) luôn dương với mọi \( x \):
\[
(x-2)(x-4) + 3 > 0 \quad \forall x.
\]

Vậy, biểu thức \( (x-2)(x-4) + 3 \) luôn dương với mọi \( x \).