Để phân tích biểu thức \(4x^2 + 16x + 4y^2\) thành nhân tử, ta có thể bắt đầu bằng cách tìm ra các hệ số và cấu trúc của biểu thức.

1. Ta nhận thấy rằng, tất cả các hệ số trong biểu thức đều có thể chia cho 4:
\[
4x^2 + 16x + 4y^2 = 4(x^2 + 4x + y^2)
\]

2. Bây giờ, ta sẽ phân tích biểu thức trong dấu ngoặc \(x^2 + 4x + y^2\). Để làm điều này, ta có thể sử dụng phương pháp hoàn thành phương trình bậc hai:
- Nhận thấy \(x^2 + 4x\) có thể viết lại theo dạng:
\[
x^2 + 4x = (x + 2)^2 - 4
\]
- Do đó, ta có:
\[
x^2 + 4x + y^2 = (x + 2)^2 - 4 + y^2 = (x + 2)^2 + (y - 2)^2
\]

3. Kết hợp chúng lại, ta có:
\[
4x^2 + 16x + 4y^2 = 4((x + 2)^2 + (y - 2)^2)
\]

Cuối cùng, biểu thức \(4x^2 + 16x + 4y^2\) có thể được viết thành dạng nhân tử như sau:
\[
4((x + 2)^2 + (y - 2)^2)
\]

Đây là dạng phân tích cuối cùng để hiểu rõ hơn cấu trúc của biểu thức ban đầu.